线性代数笔记8：矩阵的对角化

本文主要讲矩阵对角化的证明及应用。

矩阵对角化条件

定义一：若存在可逆矩阵SS，使得S−1ASS−1AS为对角矩阵，则称为矩阵AA是可对角化的（diagonalized）。

设n×nn×n矩阵有nn个线性无关的特征向量x1,...,xnx1,...,xn，令S=(x1,...,xn)S=(x1,...,xn)，则：

AS=A(x1,...,xn)=(λ1x1,...,λnxn)=(x1,...,xn)⎛⎝⎜λ1...λn⎞⎠⎟AS=A(x1,...,xn)=(λ1x1,...,λnxn)=(x1,...,xn)(λ1...λn)

AS=SΛ⇒S−1AS=ΛAS=SΛ⇒S−1AS=Λ

定义二：n×nn×n矩阵AA可对角化的充要条件是AA有nn个线性无关的特征向量。

那么什么样的方阵有线性无关的特征向量呢？

定义三：λ1,..,λnλ1,..,λn是矩阵AA的互异特征值，x1,...,xnx1,...,xn是相应的特征向量，则x1,...,xnx1,...,xn线性无关。

可利用vandermonde行列式证明

可用反证法证明

同一个特征值对应的特征向量不一定都线性无关。

定义四：若n×nn×n矩阵有nn个互异的特征值，则矩阵可以对角化。

但若矩阵有相同的特征值，也可能可以对角化。

相似矩阵性质

若nn阶矩阵AA与BB相似，则A与BA与B特征多项式相同。

相似矩阵特征值相同。

相似矩阵行列式相同。

具有相同的可逆性。

几何重数与代数重数

定义：设det(A−λI)=(λ1−λ)n1...(λk−λ)nkdet(A−λI)=(λ1−λ)n1...(λk−λ)nk，称nini为特征值λiλi的代数重数（algebraic multiplicity），记做AM(λi)=niAM(λi)=ni，称dimN(A−λiI)dimN(A−λiI)为特征值λiλi的几何重数（geometric multiplicity），记做GM(λi)=dimN(A−λ+iI)GM(λi)=dimN(A−λ+iI)。

从直观上看，代数重数就是对应的特征值的次数，几何重数是特征向量的维数，探究的就是特征值和特征向量之间的关系。

任意复方阵相似于上三角阵，且对角元为上三角矩阵的特征值。

GM(λ)≤AM(λ)GM(λ)≤AM(λ)

由定理2，AA相似于上三角矩阵TT，则AA和TT有相同的特征值，且对于任意特征值λiλi，GMA(λi)=GMT(λi)GMA(λi)=GMT(λi)。

因此，不妨设AA是上三角阵，即A=⎛⎝⎜a11...ann⎞⎠⎟A=(a11...ann)。

因此A−λiIA−λiI为对角线上对应的特征值为0，但这一行不一定为0（最多矩阵的特征值少1），因此新的矩阵r(A−λiI)≥n−AM(λi)r(A−λiI)≥n−AM(λi)

所以GM(λi)=n−r(A−λiI)≤AM(λi)GM(λi)=n−r(A−λiI)≤AM(λi)。

若复方阵AA可对角化⇔⇔对任意特征值λiλi，GM(λi)=AM(λi)GM(λi)=AM(λi)。

因为若GM(λi)=AM(λi)GM(λi)=AM(λi)，则矩阵有nn个线性无关的特征向量。

矩阵对角化判断

求出矩阵的所有特征值。

对于每个特征值，计算特征向量，并检查r(A−λiI)=n−AM(λi)r(A−λiI)=n−AM(λi)是否成立。

若都成立，则计算特征向量（基础解系）。

最后将特征向量与特征值对应起来，就可以写出P−1AP=ΛP−1AP=Λ。

注意：使矩阵对角化的特征向量不是唯一的（可以乘上常数倍）。

矩阵对角化的应用

可快速计算AkAk。

可计算Markov过程中的平稳分布ππ。

可得到方程：πP=ππ1=1πP=ππ1=1。

计算Fibonacci数列。

差分方程uk+1=Aukuk+1=Auk描述的离散动力系统的长期行为

设AA可对角化，即存在可逆矩阵S=(x1,...,xn)S=(x1,...,xn)，使得S−1AS=ΛS−1AS=Λ

设S−1u0=(c1,...,cn)TS−1u0=(c1,...,cn)T,即u0=c1x1+...+cnxnu0=c1x1+...+cnxn。

uk=Aku0=SΛkS−1u0=c1λk1x1+...+cnλknxnuk=Aku0=SΛkS−1u0=c1λ1kx1+...+cnλnkxn

可以看出，ukuk的增长因子λkiλik支配，因此系统的稳定性依赖于AA的特征值。

当所有特征值|λi|<1|λi|<1时，是稳定的；

当所有特征值|λi|≤1|λi|≤1时，是中性稳定的；

当至少有一个特征值|λi|>1|λi|>1时，是不稳定的；

同时对角化

定理：若A、BA、B有相同的特征向量矩阵PP，使得P−1AP=Λ1,P−1BP=Λ2P−1AP=Λ1,P−1BP=Λ2，则AB=BAAB=BA。

逆命题也成立：若A、BA、B都可对角化，并且AB=BAAB=BA，则A、BA、B可同时对角化。

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