MIT_线性代数笔记_02_矩阵消元

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

Lecture 2: Elimination with matrices

课程 2：矩阵消元

对于线性方程组

⎧⎩⎨x+2y+z3x+8y+z4y+z=2=12=2,

我们首先通过消元来简化方程组，再通过回代求得方程组的解。

考虑方程组系数矩阵 A 及其右端向量 b

A=⎛⎝⎜130284111⎞⎠⎟,b=⎛⎝⎜2122⎞⎠⎟,

我们称

(A,b)=⎛⎝⎜1302841112122⎞⎠⎟

为增广矩阵(augmented matrix).

下面对增广矩阵 (A,b) 进行消元：

⎛⎝⎜1302841112122⎞⎠⎟−→−−−−−−−−−−−−第一行乘以−3加到第二行⎛⎝⎜1002241−21262⎞⎠⎟−→−−−−−−−−−−−−第二行乘以−2加到第三行⎛⎝⎜⎜1002201−2526−10⎞⎠⎟⎟.

其中，方框中的 1,2,5 称为主元(pivot)，注意，主元不能为 0.

下面通过回代求得线性方程组的解。

首先由增广矩阵的第三行可知，z=−2，将 z=−2 代入第二行可得 y=1，再将 z=−2,y=1 代入第一行可得 x=2. 因此方程组的解为

x=2,y=1,z=−2.

我们将 A 通过消元后得到的上三角矩阵(upper triangular) 记为 U，即

U=⎛⎝⎜1002201−25⎞⎠⎟.

下面从矩阵乘法的角度来说明 A 是如何变成 U 的。

首先将 A 的第一行的 −3 倍加到第二行得到了

A1=⎛⎝⎜1002241−21⎞⎠⎟.

回忆一下矩阵乘法，一个矩阵左乘矩阵 A 相当于对 A 的行作线性组合，因此我们要找到一个合适的矩阵 X 使得 XA=A1，由 A 和 A1 的前两行相同可知，矩阵 X 的第一行和第三行分别为 (1,0,0),(0,0,1). 又由将 A 的第一行的 −3 倍加到第二行得到 A1 可知， X 的第二行为 (−3,1,0).

因此

X=⎛⎝⎜1−30010001⎞⎠⎟.

我们将这个矩阵即为 E21，因为它把 A 的 (2,1) 位置的元素消成了 0. 这个矩阵称为初等矩阵或消元矩阵(elementary matrix or elimination matrix).

同理可知，第二次变换的矩阵为

⎛⎝⎜10001−2001⎞⎠⎟.

我们将这个矩阵记为 E32，它同样是初等矩阵。

因此我们即得

E32E21A=U.

这就是矩阵消元的乘法表示。

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