MIT18.06线性代数课程笔记3a:矩阵相乘的五种看待角度
2017-10-12 16:40
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课程简介
18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课,课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。课程笔记
上节课,Strang在讲解高斯消元的过程中给出了三种矩阵相乘的看待角度,也可以说是计算方法:MIT18.06线性代数课程笔记2a:矩阵相乘的三种看待角度。这节课,他首先系统的给出了矩阵相乘的五种方法,之后又讲解了矩阵求逆的概念。本文主要总结矩阵相乘的相关内容。
1. 定义
矩阵Am×n和矩阵Bn×p相乘AB=C,有C是m×p的矩阵,且A的列数必须等于B的行数。AB=C,则有cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj
2. 五种计算方法
2.1. A的行向量和B的列向量相乘
这个方法非常直接简单,从上诉公式可得cij=[ai1,ai2,⋯,ain]⋅[b1j,b2j,⋯,bnj]T
所以C向量的第i行第j列为A的第i个行向量乘以B的第j个列向量。
2.2. A与B的列向量相乘
详情可以参考MIT18.06线性代数课程笔记2a:矩阵相乘的三种看待角度。结论是C的第j列是A与B的第j列相乘的结果,而矩阵A和列向量相乘的结果为矩阵A各列向量的线性组合。
2.3. A的行向量与B相乘
详情可以参考MIT18.06线性代数课程笔记2a:矩阵相乘的三种看待角度。结论是C的第i行是A的第i个行向量与B相乘的结果,而A的第i个行向量与B相乘的结果为矩阵B各行向量的线性组合。
2.4. A的列向量和B的行向量相乘
考虑A的第k个列向量和B的第k个行向量相乘的结果:[a1k,a2k,⋯,amk]T⋅[bk1,bk2,⋯,bkp]=ak⋅b′k
有ak⋅b′k为m×p的矩阵,且[ak⋅b′k]ij=aik∗bkj。所以cij=[a1⋅b′1]ij+[a2⋅b′2]ij+⋯+[an⋅b′n]ij,从而有C=a1⋅b′1+a2⋅b′2+⋯+an⋅b′n。
所以C为n个A的列向量和B的行向量相乘矩阵的加和。
2.5. 分块矩阵相乘
分块矩阵对于如何分块没有限制,只要满足矩阵相乘的条件,即A的列数等于B的行数。先说结论:
[A1,A2A3,A4][B1,B2B3,B4]=[A1B1+A2B3,A1B2+A2B4A3B1+A4B3,A3B2+A4B4]
课上Strang并没有对其作出解释,这里笔者根据自己的理解写一段证明,正确性有待验证,还望指教。
先证明[A1,A2]TB=[A1B,A2B]T,即可以对左侧矩阵做行切分。
考虑矩阵乘法的row picture,即C的第i行为B的行向量的线性组合,系数由A的第i行唯一确定。所以对左侧矩阵做行切分,并不影响输出结果,因为C的第i行只与A的第i行有关。
类似的,有A[B1,B2]=[AB1,AB2],即可以对右侧矩阵做列切分。
证明方法和上面类似,因为输出的第j个列向量是A列向量的线性组合,系数由B的第j个列向量唯一确定。所以对右侧矩阵做列切分,不影响输出结果。
若对左侧矩阵做列切分,则必然需要对右侧矩阵做行切分,从而满足矩阵相乘的条件。若对右侧矩阵做行切分,也必然对应着左侧矩阵的列切分。从而最后一种情况是[A1,A2][B1,B2]T=A1B1+A2B2。
这里需要用到矩阵乘法的第四种计算方法:A的列向量和B的行向量的乘法。对左侧矩阵做列切分以及对右侧矩阵做行切分都没有影响到A的列向量以及B的行向量,从而A1B1等于n1个A的列向量和B的行向量相乘相加的结果,A2B2等于n2个A的列向量和B的行向量相乘相加的结果,两者相加即可得到n个A的列向量和B的行向量相乘相加的结果,即为AB。
对任意分块矩阵相乘应用上诉三个结论以及矩阵的结合律即可得到最终结论。
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