线性代数笔记6：行列式

大部分国内的线性代数都是从行列式开始讲起，这里只列出基本性质方便回顾。

行列式的几何意义

行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或体积

坐标系变换下的图形面积或体积的伸缩因子，即变换矩阵AA

行列式的一般性质

|In|=det(In)=1|In|=det(In)=1

设A=(α1,...,αn),B=(α1,...αi−1,kαi,αi+1,...αn)A=(α1,...,αn),B=(α1,...αi−1,kαi,αi+1,...αn),则det(B)=k×det(A)det(B)=k×det(A)

设A=A=(α1,...,αn),A<
20000
/span>′=(α1,...,α′i,...αn),B=(α1,...αi+α′i,..,αn)A=A=(α1,...,αn),A′=(α1,...,αi′,...αn),B=(α1,...αi+αi′,..,αn),则det(B)=det(A)+det(A′)det(B)=det(A)+det(A′)

det(A)=det(AT)det(A)=det(AT)

任意交换AA的两列得到A′A′，则det(A)=−det(A′)det(A)=−det(A′)。

推论

若AA的两行（列）成比例，则det(A)=0det(A)=0

将AA的某一行（列）乘上一个倍数加到另外一列（行），得到矩阵A′A′，则det(A)=det(A′)det(A)=det(A′)

若AA是一个方阵，则det(A)≠0⇔A可逆det(A)≠0⇔A可逆

设A,BA,B是两个nn阶方阵，则|AB|=|A|×|B||AB|=|A|×|B|

|A+B|≠|A|+|B|,|kA|≠k|A||A+B|≠|A|+|B|,|kA|≠k|A|

行列式的计算

直接利用公式计算

使用代数余子式（algebraic complement）计算

令Cij=(−1)i+jdet(Mij)Cij=(−1)i+jdet(Mij)，则：det(A)=ai1Ci1+ai2Ci2+...+ainCindet(A)=ai1Ci1+ai2Ci2+...+ainCin

综合利用消元法和降阶法

典型例题：计算Vandermonde行列式

​ 证明|λIm−AB|=λm−n|λIn−BA||λIm−AB|=λm−n|λIn−BA|

求逆矩阵

设A=(aij)n×nA=(aij)n×n可逆，构造如下矩阵，称为AA的伴随矩阵(adjoint of A)：

adj(A)=⎛⎝⎜⎜⎜C11C21...Cn1C12C22...Cn2............C1nC2n...Cnn⎞⎠⎟⎟⎟Tadj(A)=(C11C12...C1nC21C22...C2n............Cn1Cn2...Cnn)T

A−1=adj(A)|A|A−1=adj(A)|A|

r(A)=n⇒r(adj(A))=nr(A)=n⇒r(adj(A))=n

r(A)=n−1⇒A×(adj(A))=0r(A)=n−1⇒A×(adj(A))=0，因此adj(A)adj(A)的列属于AA的零空间。而dimN(A)=1⇒r(adj(A))=1dimN(A)=1⇒r(adj(A))=1

r(A)≤n−2⇒Ar(A)≤n−2⇒A的任意n-1阶子矩阵都不可逆⇒Cij=0→adj(A)=0⇒Cij=0→adj(A)=0

外积

给定两个向量u=⎛⎝⎜u1u2u3⎞⎠⎟，v=⎛⎝⎜v1v2v3⎞⎠⎟，u×v=⎛⎝⎜u2v3−u3v2u3v1−u1v3u1v2−u2v1⎞⎠⎟u=(u1u2u3)，v=(v1v2v3)，u×v=(u2v3−u3v2u3v1−u1v3u1v2−u2v1)

i,j,k为单位向量，相当于i,j,k为单位向量，相当于∣∣∣∣iu1v1ju2v2ku3v3∣∣∣∣|ijku1u2u3v1v2v3|的行列式计算

性质

u×v=−v×u→u×u=0u×v=−v×u→u×u=0

(u1+u2)×v=u1×v+u2×v(u1+u2)×v=u1×v+u2×v