线性代数学习笔记五：相似矩阵及二次型

参考：《线性代数》同济大学第四版

1. 向量的内积、长度及正交性

1）向量的内积：定义；性质（4条）

2）向量的长度：定义；性质（3条）

3）向量的正交性：定义；规范正交基；施密特正交化；

4）正交矩阵：定义；方阵A为正交矩阵的充要条件；性质（2条）

5）正交变换

2. 方阵的特征值与特征向量

1）定义：方阵的特征值；方阵的对应于特征值的特征向量；方阵的特征方程；

2）方阵A的特征值r的性质（4条）：方阵所有特征值之和等于方阵对角元素之和；所有特征值之积等于方阵的行列式；r*r为A*A的特征值；A可逆，则1/r为A逆矩阵的特征值

3）定理2：方阵的m个特征值各不相等，则其对应的m个特征向量线性无关

3. 相似矩阵

1）相似矩阵定义

2）定理3：n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而特征值亦相同；推论（A与对角阵相似，则对角阵的对角元素即为A的特征值）

3）定理4：n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量；推论（n个特征值互不相等）

4. 对称矩阵的对角化

1）定理5：对称阵的特征值为实数

2）定理6：对称阵的两特征值不相同，则其对应的特征向量正交

3）定理7(对角阵)及其推论

4）对称阵A对角化的步骤

5. 二次型及其标准型

1）二次型：定义；二次型的标准型；二次型的规范型；二次型与矩阵一一对应；二次型的矩阵；对称阵的二次型；二次型的秩

2）矩阵的合同

3）定理8

6. 用配方法化二次型成标准型

1）拉格朗日配方法

7.正定二次型

1）定理9（惯性定理）

2）正定二次型、负定二次型；对称阵的正定、负定

3）定理10：二次型为正定的充要条件是它的标准型的n个系数全为正；推论（对称阵A正定充要条件A的特征值全为正）

4）定理11（霍尔维茨定理）：对称阵A为正定的充要条件是A的各阶主子式都为正；A为负定的充要条件是奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正