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线性代数的本质学习笔记(2):矩阵乘法与线性变换复合

2018-01-15 22:44 666 查看
  本文主要内容为《线性代数的本质》学习笔记,内容和图片主要参考 学习视频 ,感谢3Blue1Brown对于本视频翻译的辛苦付出。有的时候跟不上字幕,所有在这里有些内容参考了此篇博客。在这里我主要记录下自己觉得重要的内容以及一些相关的想法,希望能与大家多多交流~

  本节内容对应视频的“04. 矩阵乘法与线性变换复合”这一节的内容。

  考虑首先对基向量进行旋转变换,之后再进行剪切变换,这个变换可以直接通过一个复合变换实现,如下图所示



所以两个矩阵相乘的几何意义,就是两个线性变换相继作用



这个乘积需要从右向左读,首先应用右侧矩阵所描述的变换,然后再应用左侧矩阵所描述的变换,它起源于函数的记号,因为你我们将函数写在变量左侧,所以每次将两个函数复合是,你总是要从右向左读。

  考虑矩阵相乘的顺序是否会对计算你得结果造成影响。MN≠NM。思考几何意义:旋转-剪切,剪切-旋转,两者的总体效应明显是不同的,所以乘积顺序明显会受到影响。注意,我们是在用变换思考,而没有进行数值运算,这一过程可以在头脑中形象的进行。

  考虑另一个问题,矩阵相乘填加括号的位置于结果是否相关(即是否满足结合律)。答案是不相关,矩阵相乘满足结合律,这一点也可以通过如上的物理意义进行解释这证明。

  这个可以同样扩展到单位的情况,即根据基向量变换前后确定线性变换矩阵是怎样的,两个三维矩阵相乘可以看作是两个线性变化的复合表示形式。
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