MIT18.06线性代数课程笔记20:矩阵逆元计算、克里默法则 以及 行列式与volume、外积的关系
2017-12-25 16:52
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课程简介
18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课,课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。课程笔记
利用代数余子式计算方阵的逆元,进而求解Ax=b,最后简要阐述了行列式与volume的关系,并对外积做了简要介绍。文中所用图取自 Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. 4th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2009. ISBN: 9780980232714.
1. 方阵逆元
如 MIT18.06线性代数课程笔记19:矩阵行列式公式与代数余子式 中所述,∑i=1najiCji=det(A)=∑i=1naijCij
构造方阵Cn×n,且Cij=Cij,即矩阵A的代数余子式,则有
CTA=det(A)⋅I1det(A)CT=A−1
证明如下:
[CTA]jj=∑i=1naijCij=det(A)[CTA]jk=∑i=1naikCij=0
第一个等式来源于行列式的计算公式。第二个等式同样具有使用代数余子式计算行列式的形式,但是却将aij变成了aik,即计算的不再是A的行列式,而是将A中第j列替换为第k列的行列式。因为新替换得到的矩阵存在两个相同列,从而行列式为0。
回忆之前矩阵逆元的计算是利用消元法,是个algorithm;而利用代数余子式,我们直接得到了矩阵逆元的计算公式,是algebra。
2. 克拉默法则:求解Ax=b
克拉默法则即将上诉逆元公式应用起来,得到利用代数余子式求解Ax=b的公式,实际使用中多是消元法。Ax=b⇒x=A−1b=1det(A)CTb⇔det(A)⋅xj=∑i=1nCijbi
同样det(A)⋅xj为将矩阵A的第j列替换为b的新矩阵的行列式。上诉方法需要计算n+1个行列式,计算量非常大。
3. 行列式与volume的关系
这个结论比较有意思,可以直接通过box的顶点坐标求解volume。3.1. 2维情况
Claim: 平行四边形的面积等于顶点坐标矩阵的行列式。具体地,如下图所示顶点坐标为(0,0),(x1,y1),(x2,y2),(x1+x2,y1+y2)的平行四边形的面积为
|x1,y1x2,y2|
证明如下:
行列式的三个基础性质(MIT18.06线性代数课程笔记18:矩阵行列式的性质)平行四边形的面积都满足,从而行列式与平行四边形面积等价。
单位阵对应于大小为1的正方形,面积为1,等于行列式。
交换两行位置,得到的平行四边形左旋与右旋的方向取反,从而面积取反,与行列式相同。
a. 某一行加倍,则平行四边形面积加倍,与行列式相同。
b. 某一行加上另一个向量,平行四边形面积为两者相加,与行列式相同。
关于性质3的证明如下图所示:
3.2. 三维情况与外积
Claim: 行列式与volume相等,等于triple product。第一部分的结论图示如下:
图中所示的box的体积为⎡⎣⎢a11,a12,a13a21,a22,a23a31,a32,a33⎤⎦⎥的行列式。
triple product的定义为(a×b)⋅c,即两个向量的外积与第三个向量做内积。
关于外积的简易定义如下:
a1×a2=det(⎡⎣⎢ i , j , k a11,a12,a13a21,a22,a23⎤⎦⎥)
具有如下性质(均易于证明):
a×b=−b×a (行列式性质2)
(a×b)⋅a=(a×b)⋅b=0 (两个相同行的行列式为0)
a×a=0 (两个相同行的行列式为0)
||a×b||=||a|| ||b|| |sinθ|等于a,b构成的平行四边形的面积(定义坐标系使得a,b位于x,y平面则易于验证;同时单位长度固定的情况下,坐标系改变并不会改变各个向量的模以及夹角,故各种情况下等式均成立)
基于外积的定义可证(a×b)⋅c=det(⎡⎣⎢a11,a12,a13a21,a22,a23a31,a32,a33⎤⎦⎥)。
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