线性代数笔记(特征问题与矩阵相似)
2015-01-25 10:59
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1)一元多项式,多项式,第i次项系数,常数项,首项,首项系数,n次多项式,零次多项式,零多项式,多项式相等,多项式的加减
2)多项式的向量表示法:向量的元素代表多项式的系数,次数隐含在元素的顺序上,比如f(x)=x^2+2x+1 可表示为(1,2,1).n次多项式是一个具有n+1个分量的向量.
3)多项式整除,复根,根,零点,实根,重因式,重根,单因式,单根;n次多项式最多有n个不同的根;
4)代数基本定义:在复数域上,n次代数方程至少有一个根;
5)在复数域上,f(x)总可以分解成k(x-c1)(x-c2)...(x-cn),而且唯一(不计因式顺序)k等于首项系数的倒数;
6)在复数域上,n次多项式,恰好有n个根;如果两个n次多项式仅相差一个非零常数因子(对应成比例),则两个多项式根完全一样;
7)复数C是f(x)=0的根,则其共轭复数也是f(x)的根;奇次实系数多项式至少有一个实根;
8)特征值:V是数域K上的线性空间,T是V的线性变换,如果存在数λ0属于K,非零向量α0属于V,使得Tα0=λ0α0成立,则称λ0是T的特征值;α0是T的属于λ0的特征向量;
9)线性变换的特征值与它的矩阵的特征值完全相同;相似矩阵的特征值和特征向量完全相同;
10)特征矩阵,特征多项式。λE-A为A的特征矩阵,f(λ)=|λE-A|为A的特征多项式;
11)λ0是n阶矩阵A的特征值的充要条件为λ0是A的特征多项式f(λ)=|λE-A|的根;这个定理揭示了一条求矩阵A的特征值和特征向量的路径;算法可参见MyMathLib.
12)特征空间:A是n阶矩阵,λ0是A的特征值,则称奇次线性方程组(λE-A)X=0的解空间为A属于λ0的特征空间;
13)矩阵特征值的性质:
A)特征值之和等于矩阵A的迹:λ1+λ2+...+λn=a11+a22+..+ann=tra(A):
B)|A|=λ1λ2...λn
C)|A|不等于0,则A和A的逆的特征值互为倒数;
D)如果λ是A的特征值,则λ^k是A^k的特征值;
E)A和其转置矩阵的特征值相同;
14)n阶矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是它有n个线性无关的特征向量;
15)n阶矩阵有n个不同的特征值,则它一定相似于对角矩阵;对于复数域中,没有重特征值的n阶矩阵一定相似于对角矩阵;
16)实对称矩阵一定相似于对角矩阵;
17)λ矩阵,λ矩阵的初等变换,n阶矩阵A的特征矩阵(λE-A)一定等价于一个对角形的λ矩阵;
18)初等因子:用λ矩阵的初等变换将A的特征矩阵λE-A化为对角矩阵,再将各个对角元素分别分解成互不相同的一次因式方幂的乘积,则所有这些一次方幂称为A的初等因子;
19)n阶矩阵A和B相似的充分必要条件是他们的初等因子相同;
20)约当型矩阵,约当块,约当标准形;
21)n阶矩阵相似于对角矩阵的充要条件是A的初等因子全是一次的;
2)多项式的向量表示法:向量的元素代表多项式的系数,次数隐含在元素的顺序上,比如f(x)=x^2+2x+1 可表示为(1,2,1).n次多项式是一个具有n+1个分量的向量.
3)多项式整除,复根,根,零点,实根,重因式,重根,单因式,单根;n次多项式最多有n个不同的根;
4)代数基本定义:在复数域上,n次代数方程至少有一个根;
5)在复数域上,f(x)总可以分解成k(x-c1)(x-c2)...(x-cn),而且唯一(不计因式顺序)k等于首项系数的倒数;
6)在复数域上,n次多项式,恰好有n个根;如果两个n次多项式仅相差一个非零常数因子(对应成比例),则两个多项式根完全一样;
7)复数C是f(x)=0的根,则其共轭复数也是f(x)的根;奇次实系数多项式至少有一个实根;
8)特征值:V是数域K上的线性空间,T是V的线性变换,如果存在数λ0属于K,非零向量α0属于V,使得Tα0=λ0α0成立,则称λ0是T的特征值;α0是T的属于λ0的特征向量;
9)线性变换的特征值与它的矩阵的特征值完全相同;相似矩阵的特征值和特征向量完全相同;
10)特征矩阵,特征多项式。λE-A为A的特征矩阵,f(λ)=|λE-A|为A的特征多项式;
11)λ0是n阶矩阵A的特征值的充要条件为λ0是A的特征多项式f(λ)=|λE-A|的根;这个定理揭示了一条求矩阵A的特征值和特征向量的路径;算法可参见MyMathLib.
12)特征空间:A是n阶矩阵,λ0是A的特征值,则称奇次线性方程组(λE-A)X=0的解空间为A属于λ0的特征空间;
13)矩阵特征值的性质:
A)特征值之和等于矩阵A的迹:λ1+λ2+...+λn=a11+a22+..+ann=tra(A):
B)|A|=λ1λ2...λn
C)|A|不等于0,则A和A的逆的特征值互为倒数;
D)如果λ是A的特征值,则λ^k是A^k的特征值;
E)A和其转置矩阵的特征值相同;
14)n阶矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是它有n个线性无关的特征向量;
15)n阶矩阵有n个不同的特征值,则它一定相似于对角矩阵;对于复数域中,没有重特征值的n阶矩阵一定相似于对角矩阵;
16)实对称矩阵一定相似于对角矩阵;
17)λ矩阵,λ矩阵的初等变换,n阶矩阵A的特征矩阵(λE-A)一定等价于一个对角形的λ矩阵;
18)初等因子:用λ矩阵的初等变换将A的特征矩阵λE-A化为对角矩阵,再将各个对角元素分别分解成互不相同的一次因式方幂的乘积,则所有这些一次方幂称为A的初等因子;
19)n阶矩阵A和B相似的充分必要条件是他们的初等因子相同;
20)约当型矩阵,约当块,约当标准形;
21)n阶矩阵相似于对角矩阵的充要条件是A的初等因子全是一次的;
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