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MIT18.06线性代数课程笔记17:正交标准矩阵

2017-12-05 21:54 381 查看

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课,课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm

课程笔记

先给出正交标准矩阵的定义,然后讨论其性质,最后给出一个构造正交标准矩阵的方法。

1. 正交标准矩阵 Orthonormal Matrix

当一个矩阵Q满足QTQ=I,则称其为orthonormal的。

具体地,设Qn×m=[q1,q2,⋯,qm],则有qTiqj=0,i≠j,此为正交;以及qTiqi=1,此为标准。

即所有列向量之间正交,而且每个列向量长度为1。

2. 相关性质

若Q为方阵,则Q−1=QT。

Q列满秩,因为正交必然不相关。

到column space的投影矩阵P=Q(QTQ)−1QTx=QQTx。也可以通过p=∑mi=1(qTix)qi得到,即等于投影到各个列向量的和,因为各个列向量是正交的。

3. 构造正交标准矩阵

具体地,从任意矩阵An×m,构造矩阵Q满足C(A)=C(Q)而且QTQ=I。为了简化步骤,假设A列满秩。

方法非常简单,逐渐增加基向量的数量,一直满足基向量长度为1,相互正交。

初始状态加入归一化的第一列到基向量集合。

第i步(2≤i≤m)加入向量ai−Pai长度为1的结果。其中P为已有基向量构造子空间的投影矩阵。

最终基向量并起来的矩阵即为Q。

注意到上诉做法均为对A列向量的线性组合,所以column space不变。同时所有的变化可以表示为可逆的变化矩阵M,满足Q=AM。进而存在矩阵R=M−1满足A=QR。因为上诉构造方法中第i步只使用A的前i个列向量,所以R是上三角矩阵。上三角的性质也可以通过rij=aTjqi验证。
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