MIT18.06线性代数课程笔记4b：打乱矩阵集合及相关性质

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。

课程笔记

打乱矩阵（Permutation Matrix）是对矩阵做行交换操作的左乘矩阵，即设打乱了矩阵A行位置的矩阵A′，有A′=PA。本节讨论一下所有可能P的集合的性质。

首先对于AN×N，{P}的大小为N!，因为A′的可能值为N!个（打乱N行的可能结果）。

然后I∈P，且I为{P}的乘法单位元，即∀P,IP=PI=P。

其次，P−1∈{P}，即打乱矩阵的逆元仍然是打乱矩阵。

最后P−1=PT ，因为考虑调换两行位置的换行矩阵Pij，有P−1ij=Pij=PTij。而P=ΠPij=P1P2⋯Pk，从而有P−1=PkPk−1⋯P1=PT.