MIT_线性代数笔记_11_矩阵空间、秩1矩阵、小世界图

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

Lecture 11: Matrix spaces; rank 1; small world graphs

课程 11：矩阵空间、秩1矩阵、小世界图

矩阵空间

所有 n×n 维矩阵构成的线性空间称为矩阵空间，记为 Rn×n.

若记 M 为所有 3×3 矩阵构成的矩阵空间，则所有的 3×3 对称矩阵构成的矩阵空间 S 和 3×3 上三角矩阵构成的矩阵空间 U 都是 M 的子空间，显然他们的交也是 M 的子空间，事实上，S 与 U 的交即为所有 3×3 对角矩阵构成的矩阵空间。但 S∪U 不是线性空间，因为对加法不封闭。

定义 S+U={α+β|α∈S,β∈U}，显然 S+U 是 M 的子空间，且 S+U=M.

dimM=9,dimS=6,dim(S+U)=9,dim(S∩U)=3, 故

dimS+dimU=dim(S+U)+dim(S∩U).

这就是维数公式。

秩1矩阵

任何一个秩矩阵都能写成 A=uvT 的形式，其中 rankA=1,u,v 均为列向量。

秩 1 矩阵的集合不是线性空间，因为对加法不封闭（两个秩 1 矩阵的和的秩可能为 2）。

任何一个秩为 r 的矩阵都能写成 r 个秩 1 矩阵的和。

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