MIT18.06线性代数课程笔记21：特征向量、特征值简介、求法与性质

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。

课程笔记

1. 特征值与特征向量的定义

若Ax=λx成立，则称λ为特征值，x为特征向量。对于某一特征值，可以有无数多个特征向量，我们通常关心其中线性无关的有限个。

2. 几个小例子

投影矩阵P，输出任意向量投影到该子空间的向量。特征值为1或者0,。特征值为1时的特征向量为子空间的一组基，特征值为0时的特征向量为null space的一组基。

置换矩阵，具体的，二维置换矩阵A=[0,11,0]。特征值为1或-1。特征值为1时的特征向量为[1,1]T，特征值为0时的特征向量为[1,−1]T。

3. 通过行列式求解特征值与特征向量

具体的，观察Ax=λx的成立条件等价于(A−λI)x=0成立，即A−λI奇异，等价于det(A−λI)=0。展开此公式可以得到λ的n阶多项式（A∈Rn×n, x∈Rn），有n个解。求解出λ之后再求解A−λI的null space。

4. 行列式的性质

对称矩阵的特征值均为实数（未证明）。

所有特征值的和等于矩阵对角线上元素的和， ∑λi=trace(A)（未证明）。

所有特征值的乘积等于矩阵行列式，∏λi=det(A)（未证明）。

A+aI与A的特征向量相同，特征值加a（考虑行列式求解方法）。

三角矩阵的特征向量为矩阵对角线上的元素，即λi=Aii（A−λI的行列式仅为对角线上元素乘积）。

5. 几种特殊的特征值与特征向量

特征值为复数，例如旋转矩阵A=[0,−11,0]（旋转向量90°），特征值为i与−i。

特征值重复，例如A=[3,10,3]，特征值为3，且A−3I的null space维度为1。