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MIT18.06线性代数课程笔记12:使用邻接矩阵证明欧拉定理

2017-11-24 19:54 471 查看

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课,课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm

课程笔记

此部分是对所学线性代数知识的应用,首先通过探讨图的邻接矩阵的性质证明平面欧拉定理,然后介绍了应用基尔霍夫定律求解电势的方法。

1. 邻接矩阵的定义

图是由顶点与边组成,设顶点数为n,边数为m,邻接矩阵M的形状为m×n。若第k条边为由vi到vj的边,则有Mki=−1且Mkj=1。

2. 邻接矩阵的性质

所谓性质,即讨论其left null space以及row space。

其left null space的定义为{y|MTy=0},则有其基对应于图中网孔。基底为sum(abs(y))最小的m−r个线性无关向量。

https://baike.baidu.com/item/%E5%9F%BA%E5%B0%94%E9%9C%8D%E5%A4%AB%E5%AE%9A%E5%BE%8B/2371560?fr=aladdin

4、网孔:

(1)其内部不包含任何支路的回路。

(2)网孔一定是回路,但回路不一定是网孔。

那row space则是线性无关的边,即row space的基底组成的图不存在回路(left null space维度为0)。所以row space的维度为n−1,因为只包含row space的基底所在边的原图子图为树,边数为n−1。

综上r=n−1, r(N(MT))=m−r=m−(n−1)

3. 直推平面欧拉定理

直接带入left null space维度以及m,n的物理意义可得:点数+网孔数-边数=1 (n+r(N(MT))−m=1)

4. 使用邻接矩阵应用基尔霍夫定律的例子

设u=[u1,u2,⋯,un]T为顶点电势,有Mu为每条边对应的电势差。进而电流为CMu,其中C为对角阵,因为电流是电压的常数倍。应用基尔霍夫定律MTCMu=0,即每个顶点的进电流和出电流相等。求解上诉等式,可得各点电势u。
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