线性代数：特征值&特征向量

1、前一章讲了一个线性变换：向量x变换为相对某条直线v1对称的向量，v1是直线的方向。而v2则是另一个与v1正交的向量。

那么有T(v1)=v1，T(v2)=-v2，对于v1，v2来说，变换T的结果没有改变向量的方向，只是做了缩放而已，可以表示为T(v)=λv(λ为标量)。

如果我们找到了这样的非零向量，那么求变换的矩阵就很简单，利用上一章的坐标转换法，将{v1，v2}作为变换基。

这样的λ叫做特征值，v则是对应于该特征值的特征向量，特征向量所张成的子空间的每个成员都满足T(v)=λv，这个子空间又叫做特征空间。

2、每个线性变换都对应一个矩阵，反之亦然。因此可以简而言之说λ是某个矩阵的特征值；

假设A是一个方阵，Av=λv => Av-λv=0 => (A-λI)v=0(I是单位矩阵) => 要使该方程有非零解，(A-λ|)的行列式为零

因此求特征值转化为求使 (A-λI)行列式为零 的λ，本质上是一个多次方程求解。

而基于特征值求对应的特征方程就是求(A-λI)得零空间，即为特征空间。

3、假设A是一个nxn的变换矩阵，有n个特征向量（这个并不总存在，但经常存在）：λ1,λ2,...,λn，对应有n个线性无关的特征向量v1,v2,...,vn。

那么可以选取{v1,v2,...,vn}作为一组基，此时也叫做特征基，来进行坐标变换。

T(v1),T(v2),...,T(vn)在新坐标系下表示为(λ1,0,..,0),(0,λ2,...,0),(0,0,...,λn),很容易得到变换在新基下的变换矩阵D={(λ1,0,..,0),(0,λ2,...,0),(0,0,...,λn)}，这是一个对角矩阵，显然这样的矩阵对于各种矩阵运算，逆、转置、乘法等，来说特别有利。