MIT18.06线性代数课程笔记18：矩阵行列式的性质

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。

课程笔记

行列式是从矩阵中计算得到的一个标量。矩阵和行列式之间必然是多对一的关系，行列式不能完全代表矩阵，但其中蕴含着很多矩阵性质相关的信息。本节首先定义了矩阵行列式应该有的三个性质，然后从这三个性质推出了其他七个性质。

指定的三个基础性质

这三个性质共同定义了行列式，利用这三个性质可以推出其他的七个性质，而且可以得到行列式的计算方法。

性质1：单位阵行列式为1

这个性质给了矩阵行列式一个单位，也是求取任意矩阵行列式的基点。

性质2：交换两个行向量使得行列式取反

线性代数里面的一个重要内容是高斯消元，性质2是消元法中的打乱矩阵对行列式的影响。

性质3：矩阵第一行的线性组合对应于矩阵行列式的线性组合

具体地，设矩阵A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢aT1aT2⋯aTn⎤⎦⎥⎥⎥⎥，其中ai为n维向量，a1为矩阵A的第一行行向量。令矩阵B=⎡⎣⎢⎢⎢⎢bTaT2⋯aTn⎤⎦⎥⎥⎥⎥，则有det(⎡⎣⎢⎢⎢⎢aT1+bTaT2⋯aTn⎤⎦⎥⎥⎥⎥)=det(A)+det(B)。

从上诉性质可以很容易推出det(⎡⎣⎢⎢⎢⎢c×aT1c×aT2⋯c×aTn⎤⎦⎥⎥⎥⎥)=c×det(A)，其中c是一个标量。

再结合性质2，可以得出保持其他行元素不变的情况下，任意单行的线性组合都对应于矩阵行列式的线性组合。

演变的七个性质

以上诉三个性质为基础，我们可以推出行列式应用的七个性质。高斯消元在线性代数中应用广泛，以下几个性质中多个性质探讨了高斯消元过程中对行列式的影响。还有几个性质分别探讨了矩阵乘法、逆元与行列式的关系，行向量和列向量在行列式中的地位等等。

性质4：若矩阵的两个行向量相等，则行列式为0

此性质可以看做性质“不可逆矩阵的行列式为0”的子集。

证明方法很简单：交换两个相等的行向量，得到相等的矩阵从而有相同的行列式，但根据性质2，两者互为相反数，从而只能为0。

性质5：某个行向量减去其他行向量的倍数，行列式不变

也就是说高斯消元中的消除矩阵不改变矩阵行列式。

证明方法结合性质3和性质4。

性质6：某个行向量为零向量，则矩阵行列式为0

此性质同样可以看做性质“不可逆矩阵的行列式为0”的子集。

证明方法：可以看做任意矩阵相应行向量乘以0，然后结合性质3

性质7：三角阵（上三角或者下三角）的行列式为对角线上元素的累乘

若对角线上存在0元素，则可以通过消元置换等方法构造零向量，推出行列式为0。

若对角线上不存在0元素，则可以通过消元得到对角阵，而对角阵的行列式结合性质3和性质1可得为对角线上元素的累乘。

结合性质2、5、7可以通过高斯消元法得到任意矩阵的行列式。

性质8：奇异矩阵（不可逆）的行列式为0

若矩阵可逆->高斯消元之后可得无零向量的上三角矩阵->行列式不为0

若矩阵不可逆->高斯消元之后可得存在零向量的上三角矩阵->行列式为0

性质9：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积

即det(AB)=det(A)det(B)。

从上诉性质易得det(A−1)=1/det(A)，det(A2)=det(A)2。

证明方法strang没有详细给出，笔者试着通过高斯消元法进行了简易推导：若A或者B奇异，则有AB奇异因为r(AB)≤min(r(A),r(B))，从而det(AB)=0=det(A)det(B)。若A和B均满秩，则可以通过行变换变成对角阵，设EA=D，其中E为行变换矩阵，D为对角阵。对AB做同样的行变换，则有|det(AB)|=|det(EAB)|=|det(DB)|=|det(D)det(B)|=|det(A)det(B)|，因为与对角阵相乘等价于各行向量乘以一个倍数，同时行变换相同，所以正负相同。

性质10：矩阵转置的行列式不变

即det(AT)=det(A)。

若A奇异，则有det(AT)=0=det(A)。

若A满秩，则存在LU分解，满足A=LU，其中L为下三角矩阵，而U为上三角矩阵。从而det(AT)=det(UTLT)=det(UT)det(LT)=det(U)det(L)=det(LU)=det(A)。

此性质使得行向量和列向量在行列式的意义下地位相同。

因为标量乘法具有交换律，从而行列式意义下的矩阵乘法也有交换律，即det(AB)=det(BA)（对于方阵而言）。