MIT18.06线性代数课程笔记6:vector space,subspace,column space,null space
2017-10-15 16:23
591 查看
课程简介
18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课,课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。课程笔记
vector space
首先给出vector space的定义:组成元素为n维向量,且对加减和标量乘法封闭。即有∀v⃗ ∈S,cv⃗ ∈S∀v⃗ ,w⃗ ∈S,v⃗ +w⃗ ∈S
典型的vector space如R3,即所有三维实数向量所组成的集合。
subspace
定义:位于vector space内部,且对加减和标量乘法封闭的向量空间。几个例子:如三维空间中的平面、线以及原点
性质:、
必须包含零点(/原点),因为0v⃗ =0⃗
必须对加减和标量乘法封闭
subspace的交集仍然是subspace
T=S1∩S2∀v⃗ 1∈T,v⃗ 2∈T,v⃗ 1+v⃗ 2∈S1∧v⃗ 1+v⃗ 2∈S2⇒v⃗ 1+v⃗ 2∈T∀v⃗ ∈T,cv⃗ ∈S1∧cv⃗ ∈S2⇒cv⃗ ∈T
subspace的并集不一定是subspace(通常不是)
column space
涉及到Ax=b何时有解的问题,那结论是b在A的column spaceC(A)里的时候有解。具体地,A可以表示为列向量的组合Am×n=[a1,a2,⋯,an],而Ax为A的列向量的线性组合。所有的线性组合的集合共同构造了一个Rm内的subspace,即为A的column space,使用C(A)表示。
column space是space的验证:
∀v⃗ ∈C(A),cv⃗ =cAx⃗ =Acx⃗ ∈C(A)∀v⃗ 1,v⃗ 2∈C(A),v⃗ 1+v⃗ 2=Ax⃗ 1+Ax⃗ 2=A(x⃗ 1+x⃗ 2)∈C(A)
所以C(A)是所有Ax的所有可能输出的集合,Ax=b有解的充要条件是b∈C(A)。
C(A)的性质取决于A,具体地,取决于A中有多少线性无关(independent)列向量。线性无关的概念后面会展开,这里大概的意思就是如果删掉某个列向量,C(A)不变就认为其与其他列向量线性相关。或者说,某个列向量可以表示为其他列向量的线性组合,那么这个列向量与其他列向量线性相关。因为其不提供更多的信息。
null space
刚刚探讨了Ax=b是否有解的问题,这里探讨Ax=b解集的性质(/形状)。首先定义null space:N(A)={x:Ax=0},即所有满足Ax=0的x的集合。其构造了Rn内的一个subspace,使用N(A)表示。
验证null space是space:
∀v⃗ ∈N(A),Acv⃗ =cAv⃗ =0⇒cv⃗ ∈N(A)∀v⃗ 1,v⃗ 2∈N(A),A(v⃗ 1+v⃗ 2)=0⇒v⃗ 1+v⃗ 2∈N(A)
N(A)必含有零点,同时其大小取决于A的性质,仍然是和A中线性相关的列向量的数目有关。
笔者的小思考:N(A)很好的定义了Ax=b的解集形状,而不仅仅是Ax=0的解集形状。因为设Ax1=b,则有A(x1+v)=b,∀v∈N(A)。同时只要找到一个Ax1=b,就可以找到所有的Ax=b,因为A(x−x1)=0,所以x−x1∈N(A),进而{x:Ax=b}={x1+v:v∈N(A)}。
相关文章推荐
- MIT18.06线性代数课程笔记5:矩阵转置,vector space以及subspace
- MIT18.06线性代数课程笔记7:使用消元法求解Null space
- MIT18.06线性代数课程笔记14:正交子空间、A^TA的Null Space
- MIT18.06线性代数课程笔记3a:矩阵相乘的五种看待角度
- MIT18.06线性代数课程笔记4b:打乱矩阵集合及相关性质
- MIT18.06线性代数课程笔记11:矩阵空间、子空间的交和、秩一矩阵
- MIT18.06线性代数课程笔记9:线性无关、向量拓展空间、空间的基、空间维度
- MIT18.06线性代数课程笔记15:子空间投影矩阵
- MIT18.06线性代数课程笔记10:column space、row space、null space、left null space
- MIT18.06线性代数课程笔记1:矩阵和向量相乘的三种解释
- MIT18.06线性代数课程笔记4a:矩阵的LU分解
- MIT18.06线性代数课程笔记2a:矩阵相乘的三种看待角度
- MIT18.06线性代数课程笔记21:特征向量、特征值简介、求法与性质
- MIT18.06线性代数课程笔记8:求解Ax=b、矩阵的秩以及矩阵的逆
- MIT18.06线性代数课程笔记20:矩阵逆元计算、克里默法则 以及 行列式与volume、外积的关系
- MIT18.06线性代数课程笔记12:使用邻接矩阵证明欧拉定理
- MIT18.06线性代数课程笔记17:正交标准矩阵
- MIT18.06线性代数课程笔记19:矩阵行列式公式与代数余子式
- MIT 线性代数课程 笔记
- MIT线性代数课程笔记对应代码-【lecture 1】