MIT18.06线性代数课程笔记2a：矩阵相乘的三种看待角度

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。

课程笔记

矩阵相乘AB=C有三种看待角度，所谓角度，也可以理解为计算方法。

设A为m×k的矩阵 ，有A=[a1,a2,⋯,ak]，其中ai表示矩阵A的第i列；同时A=[a′1;a′2;⋯;a′m]，其中a′j表示A的第j行。上诉设定其实就是将矩阵重新按照行列表示。B为k×n的矩阵，同样有上诉两种表示。

1. 角度一：行列向量相乘

AB=[a′1;a′2;⋯;a′m]×[b1,b2,⋯,bn]，所以有cij=a′i×bj。即矩阵乘法结果的每个元素等于对应行列向量相乘。

2. 角度二：列向量加权和

AB=[a1,a2,⋯,ak]×[b1,b2,⋯,bn]。回忆MIT18.06线性代数课程笔记1：矩阵和向量相乘的三种解释中提到的矩阵和向量相乘的column picture：Ax=a1∗x1+a2∗xa+⋯+ak∗xk。所以有ci=Abi=a1∗b1i+a2∗b2i+⋯+ak∗bki。即矩阵乘法结果的每一列等于左乘矩阵的列向量相加，而加法的权重系数由右乘矩阵对应列决定。

3. 角度三：行向量加权和

如果思路快一些，对角度二做一个转置再转回来，就可以很容易证明c′j=a′j×B=aj1∗b′1+aj2∗b′2+⋯+ajk∗b′k。（因为CT=BTAT，然后应用角度二，其中AT,BT,CT的列为A,B,C的行）

这里一有一些比较有意思的推论：同角度三是角度二的转置推论，向量矩阵相乘同样是矩阵向量相乘的转置，可以有一个类似的row picture。具体的，xA=x1∗a′1+x2∗a′2+⋯+xk∗c′k，即向量矩阵相乘可以表示为矩阵的行向量加权和，而系数由x决定。

4.几个例子

求几个简单的变换矩阵：

第一个行和第二行矩阵交换位置：这是对矩阵做行变换，所以是变换矩阵左乘目标矩阵，第一行的输出是输入的第二行，所以变换矩阵的第一行是[0,1,0,0⋯]；而第二行的输出是输入的第一行，所以变换矩阵的第二行是[1,0,0,⋯]。而变换矩阵的其他行和单位矩阵相同，即第i行只有第i列为1，其他位置为0。即换行矩阵（Permutation）为

P01=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0,1,0,0⋯1,0,0,0,⋯0,0,1,0,⋯0,0,0,1,⋯…⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

​

第二列减去三倍的第一列：这是对矩阵做列变换，所以是变换矩阵右乘目标矩阵，第二列的输出是第二列减去三倍的第一列，所以有变换矩阵的第二列是[−3,1,0,0,⋯]T；其他列的输出与原矩阵相同，所以和单位矩阵相同。即变换矩阵为

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢1,−3,0,0⋯0,1,0,0,⋯0,0,1,0,⋯0,0,0,1,⋯…⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

第一列和第二列交换位置：推导方法和1中相同，只是左乘换为右乘，变换矩阵不变。

5.小推论：矩阵乘法不满足交换律

论证不满足交换律，只需要举出反例即可，很容易看到对矩阵做行交换和列交换的变换矩阵相同，但是一个是PA一个是AP，交换了矩阵的位置，得出的结果却不相同。

提到交换律，很容易联想到一致一起讨论的结合律。矩阵乘法虽然不满足交换律，即AB≠BA；但满足结合律，即A(BC)=(AB)C。