MIT18.06线性代数课程笔记8:求解Ax=b、矩阵的秩以及矩阵的逆
2017-10-17 20:34
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课程简介
18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课,课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。课程笔记
1. 求解Ax=b
这里涉及两个问题:1. 是否有解 2. 如何求解1.1. 是否有解
有两种方法:1. b∈C(A)⇔∃x∈Rn,Ax=b, where Am×n 2. 对增广矩阵消元,b所在列不是pivot column。对于第一种方法,如MIT18.06线性代数课程笔记6:vector space,subspace,column space,null space所述,Ax是A的列向量的线性组合,所以Ax∈C(A),而且∀v∈C(A),∃x,Ax=c。由此可证明第一个方法。但是这只是理论上的结论,实际应用中不如消元法方便。
如MIT18.06线性代数课程笔记7:使用消元法求解Null space中所述,对矩阵A消元,A=LU,可以得到pivot column和free column,且有任意free column都可以表示为所有pivot column的线性组合(更严格的结论是任意free column都可以表示为之前列的线性组合)。证明也很容易,因为if c=Ax⇔Ec=EAx,since E is invertible。所以对增广矩阵[A|b]做消元,即E[A|b]=[U|b′],若u′i=0,即U的第i行为0,b′i≠0,则Ax=b无解,因为b′是[U|b′]的pivot column。所以b′∉C(U)。
1.2. 如何求解
如果有解的情况下如何求解的问题在MIT18.06线性代数课程笔记6:vector space,subspace,column space,null space有所阐述。具体地,就是先求解一个特解xp,xp的获取比较随意,常用方法是对增广矩阵做消元之后令free column取0,这样就可以得到唯一解。然后因为∀x∈Rn,Ax=b⇒A(x−xp)=0⇒x−xp∈N(A),固所有解集为{x:x=xp+xn,∀xn∈N(A)}。至于N(A)的求解方法详见MIT18.06线性代数课程笔记7:使用消元法求解Null space,简单的说就是令free column取值为n−r个线性无关的基向量,然后求解Ax=0,得到n−r个N(A)的基向量。2. 矩阵的秩
矩阵的秩现在的定义是消元后主元的个数,也是pivot column的个数,使用r表示。设Am×n,容易证明r≤m,r≤n。
并且通过r与n,m的关系,可以判断矩阵是否有解,以及解集的维数。
2.1. r==m⇒必定有解
笔者想到两种证明方法,一是U中不存在零行,所以任意b′都可以;二是有m个pivot column,即有m个线性无关基向量,其线性组合遍布整个Rm。2.2. r==n⇒有解必然唯一解
行满秩的情况下,没有free column,所以N(A)={0⃗ },解集为{xp}。但是不一定有解,因为n个m维向量构成的子空间维度为n,不遍布Rm。对于大多数的b都无解。
2.3. r==m==n⇒有解且唯一解
行列均满秩的情况下,由上诉两个结论可知有解且唯一解。2.4. 秩与可逆的关系
目前只讨论左逆元,即A−1A=I,则有只有r==n时有逆元。即列满秩是A存在左逆元的充要条件。列满秩⇒A有左逆元
如上所述,因为列满秩,所以∃E,EA=[I0]。即∃E1,E2,[E1E2]A=[I0]⇒∃E1,E1A=I。E1即为A−1,所以A存在左逆元。
A有左逆元⇒列满秩
因为r(A−1A)=n≤r(A)≤n⇒r(A)=n。
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