MIT_线性代数笔记_07_求解Ax=0：主变量、特解

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

Lecture 7: Solving Ax = 0: pivot variables, special solutions

课程 7：求解Ax=0：主变量、特解

这一讲的内容主要是求解：Ax=0.

以

A=⎛⎝⎜1232462682810⎞⎠⎟

为例，对 A 进行消元（消元不改变 A 的零空间，改变 A 的列空间）得

⎛⎝⎜⎜100200220240⎞⎠⎟⎟≜U. 为主元（每个非零行的第一个非零元素就是主元），1,2 所在的列第一列、第三列称为主元列，第二列、第四列称为自由列。主元的个数即为 A 的秩，即 rankA=2.

设 x=(x1,x2,x3,x4)T，则 x1,x3 称为主变量，x2,x4 称为自由变量，自由变量的个数为未知数的个数减去主元的个数（即减去 A 的秩），即若 A 是 m×n 维矩阵，则自由变量的个数为 n−rankA.

由于消元不改变方程组的解，因此求解 Ax=0 就等价于求解 Ux=0.

分别取自由变量 (x2,x4)=(1,0),(x2,x4)=(0,1) 可得 Ux=0 的两个特解

ξ=⎛⎝⎜⎜⎜−2100⎞⎠⎟⎟⎟,η=⎛⎝⎜⎜⎜20−21⎞⎠⎟⎟⎟.

因此，零空间中的元素为

x=aξ+bη,

其中， a,b 为任意常数。

简化行阶梯形式

在简化行阶梯形式中，主元上下的元素都为 0，且主元都为 1.

下面我们进一步将矩阵 U 化为简化行阶梯形式 R

R=⎛⎝⎜⎜100200010−220⎞⎠⎟⎟.

也可以使用 MATLAB 命令

rref(A) % reduced row echelon form

这样，求解 Ax=0 就等价于 Rx=0，从而能够更快地写出方程组的解。

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