【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第五课 排列矩阵、转置、向量空间与列空间

排列矩阵

permutation matrix 排列矩阵指的是可以完成行互换的矩阵

这是上一课当中的内容，我们已经知道在LU分解中若pivot都不为0则我们无需进行行互换，当pivot存在0时，我们需要将其与一个合适的行互换来继续LU分解，最后我们会得到

PA=LUPA=LU

以上皆是假设AA 可逆（意味着我们可以选到不为0的pivot）,别忘了关于排列矩阵的一个重要性质:

P−1=PTP^{-1}=P^T

转置

(AT)ij=Aji(A^T)_{ij}=A_{ji}

转置的概念很简单，行变列，列变行，如同上式，介绍转置的一个主要原因在于对于一个不是方阵的矩阵RR，RTRR^TR或者RRTRR^T可以让我们得到一个方阵，这么做的原因很大一部分在于我们会求方阵的逆但不知道非方阵的逆。

这里引入symmetric matrix对称矩阵，指的是满足AT=AA^T=A的矩阵，例子：




这里要说一个有趣的事情，上面提到的RTRR^TR或RRTRR^T得到的都是symmetric matrix对称矩阵，why？

(RTR)T=RT(RT)T=RTR(R^TR)^T=R^T(R^T)^T=R^TR

向量空间

什么是向量

通常一个向量由N个实数组成，二维向量在R2R^2 这个向量空间中

R2R^2是什么？RR代表实数，2即表示这个向量由两个实数组成

对于向量我们可以做哪些线性的操作？

…

加法和乘法(scalar),减法是加上一个负的scalar，除法可以用乘法表示

回到向量空间

所有的二维向量组成向量空间R2R^2

在向量空间中，对任意向量做加法或乘法其结果仍然在向量空间中

在R2R^2中的向量子空间只能是一条线（过零点）或者是0向量

在R3R^3中的向量子空间只能是一条线（过零点）、一个平面（过零点）或者是0向量

必须过零点的原因是scalar可以为0，任意向量乘以0都会变成0向量

列空间

让我们以向量空间的方式来观察矩阵，对于矩阵AA




取出AA的两个column vector，其线性组合即构成了一个向量空间，我们称之为列空间，很明显这是一个在R3R^3内的平面

PS：本文图片皆来自公开课视频截图

PS2：发现已经有一位童鞋做过一样的事情了：

http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/10274755

PS3：写博客好花时间，比看一节课更久，鉴于有了上面别人的笔记，为了效率，之后的内容将会只写关键点