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正交矩阵

2022-01-14 11:10 204 查看 https://www.cnblogs.com/blairg

  如果  $A A^{\top}=E$  (  $E$  为单位矩阵,  $A^{\top} $  表示“矩阵  $A$  的转置矩阵") 或  $A^{\top} A=E$  ,则  $n$  阶实矩阵  $A$  称为正交矩阵  。正交矩阵是实数 特殊化的酉矩阵,因此总是属于正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交 矩阵毕竟是从内积自然引出的,所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵(即该正交矩阵 中所有元都是实数) 可以看做是一种特殊的酉矩阵,但也存在一种复正交矩阵,这种复正交矩阵不是酉矩阵。

定义

  如果: $ \mathrm{AA}^{\top}=\mathrm{E}  (  \mathrm{E} $  为单位矩阵,  $\mathrm{A}^{\top}$   表示“矩阵  $ \mathrm{A}$  的转置矩阵” ) 或 $ \mathrm{A}^{\top} \mathrm{A}=\mathrm{E}  $,则  $\mathrm{n}$  阶实矩阵 $ \mathrm{A} $ 称为正交矩阵,若  $ \mathrm{A}  $  为正交阵, 则满足以下条件:

  • $A ^{\top} $是正交矩阵
  •  ($E$为单位矩阵)
  • $A { }^{\top}$ 的各行是单位向量目两两正交
  • $A { }^{\top}$ 的各列是单位向量目两两正交
  • $(A x, A y)=(x, y) x, y \in R $
  • $ |A|=1$ 或 $ -1 $
  • $ A^{T}=A^{-1} $
  • 正交矩阵通常用字母  $Q$  表示。

  举例:

  若 $A=\left[r_{11} r_{12} r_{13} ; r_{21} r_{22} r_{23} ; r_{31} r_{32} r_{33}\right]$  ,则有:

    $\begin{array}{l}r_{11}^{2}+r_{21}^{2}+r_{31}^{2}=r_{12}^{2}+r_{22}^{2}+r_{32}^{2}=r_{13}^{2}+r_{23}^{2}+r_{33}^{2}=1 \\r_{11} \cdot r_{12}+r_{21} \cdot r_{22}+r_{31} \cdot r_{32}=0\end{array}$

  定理

  在矩阵论中,实数正交矩阵是方块矩阵 $Q$,它的转置矩阵是它的逆矩阵,如果正交矩阵的行列式为 $+1$,则称之为特殊正交矩阵。
  1.方阵 $A$ 正交的充要条件是 $A$ 的行(列)向量组是单位正交向量组;
  2.方阵 $A$ 正交的充要条件是 $A$ 的 $n$ 个行(列)向量是 $n$ 维向量空间的一组标准正交基;
  3.$A$ 是正交矩阵的充要条件是:$A$ 的行向量组两两正交且都是单位向量;
  4.$A$ 的列向量组也是正交单位向量组。
  5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

参考:https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E7%9F%A9%E9%98%B5/407284?fr=aladdin

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