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证明:旋转矩阵是正交矩阵

2020-01-14 05:59 1376 查看

正交矩阵

定义:设AAA为nnn阶方阵,如果ATA=IA^{T}A = IATA=I或AAT=IAA^T = IAAT=I,就称AAA为正交矩阵。
性质:

  • 正交矩阵的每一个列向量都是单位向量,且向量之间两两正交。
  • 正交矩阵的行列式为1或者-1.
  • A−1=ATA^{-1} = A^TA−1=AT(充要条件)

旋转矩阵

选准矩阵描述了坐标系之间的旋转变换,由3×33\times 33×3矩阵描述。旋转矩阵是一个正交矩阵。

证明

设存在笛卡尔坐标系CAC_ACA​,由xA,yA,zAx_A,y_A,z_AxA​,yA​,zA​列向量描述。假设原坐标系为全局参考坐标系,则xA=[1,0,0]Tx_A = [1,0,0]^TxA​=[1,0,0]T,yA=[0,1,0]Ty_A = [0,1,0]^TyA​=[0,1,0]T,zA=[0,0,1]Tz_A = [0,0,1]^TzA​=[0,0,1]T。坐标系之间的转换可以描述为矩阵之间的相乘。由坐标系CAC_ACA​经过旋转矩阵RRR转换到坐标系CBC_BCB​,即可描述为:
CB=RCAC_B = RC_ACB​=RCA​
由于CAC_ACA​为单位矩阵III,则CB=RC_B = RCB​=R
其中CBC_BCB​由xB,yB,zBx_B,y_B,z_BxB​,yB​,zB​列向量描述,并且每个列向量在全局坐标系(在这里为CAC_ACA​)的具体值可以通过两个向量之间的投影获得。
即xB=[xBTxA,xBTyA,xBTzA]Tx_B = [x_B^Tx_A,x_B^Ty_A,x_B^Tz_A]^TxB​=[xBT​xA​,xBT​yA​,xBT​zA​]T
同理:
yB=[yBTxA,yBTyA,yBTzA]Ty_B =[y_B^Tx_A,y_B^Ty_A,y_B^Tz_A]^TyB​=[yBT​xA​,yBT​yA​,yBT​zA​]T
zB=[zBTxA,zBTyA,zBTzA]Tz_B = [z_B^Tx_A,z_B^Ty_A,z_B^Tz_A]^TzB​=[zBT​xA​,zBT​yA​,zBT​zA​]T

由此:
R=CB=[xB,yb,zb]=[xBTxAyBTxAzBTxAxBTyAyBTyAzBTyAxBTzAyBTzAzBTzA]R = C_B =[x_B,y_b,z_b]= \begin{bmatrix} x_B^Tx_A&y_B^Tx_A&z_B^Tx_A\\ x_B^Ty_A&y_B^Ty_A&z_B^Ty_A\\ x_B^Tz_A&y_B^Tz_A&z_B^Tz_A \end{bmatrix}R=CB​=[xB​,yb​,zb​]=⎣⎡​xBT​xA​xBT​yA​xBT​zA​​yBT​xA​yBT​yA​yBT​zA​​zBT​xA​zBT​yA​zBT​zA​​⎦⎤​
根据RRR的关系式,可以间接推导出R−1R^{-1}R−1和RTR^{T}RT的关系式。

RTR^TRT由转置的定义得:
RT=[xBTxAxBTyAxBTzAyBTxAyBTyAyBTzAzBTxAzBTyAzBTzA]R^T = \begin{bmatrix} x_B^Tx_A&x_B^Ty_A&x_B^Tz_A\\ y_B^Tx_A&y_B^Ty_A&y_B^Tz_A\\ z_B^Tx_A&z_B^Ty_A&z_B^Tz_A \end{bmatrix} RT=⎣⎡​xBT​xA​yBT​xA​zBT​xA​​xBT​yA​yBT​yA​zBT​yA​​xBT​zA​yBT​zA​zBT​zA​​⎦⎤​

R−1R^{-1}R−1由旋转矩阵的定义
可以理解为旋转矩阵的逆变换,即由CA=R−1CBC_A = R^{-1}C_BCA​=R−1CB​,因此只需将RRR矩阵中的AAA和BBB交换位置即可。
可得:
R−1=[xBTxAxBTyAxBTzAyBTxAyBTyAyBTzAzBTxAzBTyAzBTzA]R^{-1} = \begin{bmatrix} x_B^Tx_A&x_B^Ty_A&x_B^Tz_A\\ y_B^Tx_A&y_B^Ty_A&y_B^Tz_A\\ z_B^Tx_A&z_B^Ty_A&z_B^Tz_A \end{bmatrix} R−1=⎣⎡​xBT​xA​yBT​xA​zBT​xA​​xBT​yA​yBT​yA​zBT​yA​​xBT​zA​yBT​zA​zBT​zA​​⎦⎤​
因此
RT=R−1 R^T = R^{-1} RT=R−1
即旋转矩阵是正交矩阵。

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