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【线代】行/列分块矩阵中向量正交有什么用?如何表述?向量正交和线性无关有什么关系?

2019-09-29 23:01 711 查看
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目录

一、向量正交

二、向量线性无关

三、二者关系

1. 两个向量

2. 正交向量组

3. 一个向量与一个向量组正交

四、小结

一、向量正交

1. 定义

两向量正交,那么内积 (α,β)=0,或者写作点乘 α • β=0。

2. 表述

向量是一种有序数组,如a=(a1,a2,a3,……),本身是表示方向的。内积或者说点乘,就是两向量坐标对应位置的乘积的和。

《向量正交是什么意思》:https://zhidao.baidu.com/question/1608819442654220827.html?qbl=relate_question_0

向量内积(点乘)和外积(叉乘)概念及几何意义》:https://www.geek-share.com/detail/2706790641.html

但是,在矩阵需要分块时,常引入向量,分为列向量或行向量。

行向量乘列向量才是内积,列向量乘行向量是矩阵。行向量不可乘行向量,列向量也不可乘列向量。

因此在表述时,有如下几种情况。由于矩阵常常按照列分块或按行分块,一般出现同类型向量较多,也即后两种。

  • 行向量α与列向量β正交,则
  • 行向量α与行向量β正交,则
  • 列向量α与列向量β正交,则

二、向量线性无关

两个向量线性无关,即一个不可被另一个线性表示,即不平行。

一个向量与一个向量组线性无关,即不可被其线性表示,不

三、二者关系

1. 两个向量

证明过程:《线性代数:正交的向量一定线性无关吗?》:https://zhidao.baidu.com/question/1818343757400219548.html

结论两个向量正交,那么一定线性无关。两个向量线性无关,不一定就是正交

理解记忆:正交是指,两个向量的夹角为90°。(无所谓行向量、列向量,这里是一种n维空间的坐标关系)

线性无关是指,两个向量不平行(或者重合),就是夹角不为0°或180°。

2. 正交向量组

两两正交的非零向量组是正交向量组,其组内向量一定线性无关。反之未必,即线性无关未必正交。

《向量组的正交性》:https://wenku.baidu.com/view/859595d084254b35eefd3498.html

证明如这篇文章。最后的例题也可看出,一个向量与一个向量组正交,实际是它与组内向量分别两两正交。正交的定义是发生在两个向量间的。

3. 一个向量与一个向量组正交

一个向量与一个向量组正交,是它与组内向量分别两两正交。

《向量组和向量正交是什么意思?》:https://zhidao.baidu.com/question/1389218406721751020.html

显然是提问者(1)中的意思。不要看解答,答非所问。

《向量组a1....an和一个向量β正交,是什么意思?》:https://zhidao.baidu.com/question/332952536677157125.html?qbl=relate_question_0

这个解答清楚。

《证明:如果向量b与向量组a1,a2,...,as中的每个向量都正交,则b与a1,a2,...,as的任意线性组合k1a1+k2a2+...+ksas也正交》:https://zhidao.baidu.com/question/1179635885024901859.html?qbl=relate_question_5

一个相关的小证明题,帮助理解。

四、小结

1. 向量正交即垂直,发生在两个向量间。正交向量的坐标内积为0,注意区分表述形式。

  • 行向量α与行向量β正交,则
  • 列向量α与列向量β正交,则

2. 向量线性无关,即不可被线性表示,两向量不共线,也有向量与一个向量组线性无关(即不在向量组表示的空间内)。

3. 两个向量正交,那么一定线性无关。两个向量线性无关,不一定就是正交。

4. 两两正交的非零向量组是正交向量组,其组内向量一定线性无关。反之未必,即线性无关未必正交。

5. 一个向量与一个向量组正交,是它与组内向量分别两两正交。

强烈推荐一本书!《线性代数的几何意义》任广千(豆瓣主页)。

从几何意义去理解线性代数非常重要,可以把各种概念串联起来。

还在读,等读完应该要写一些读书笔记。

 

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