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正交矩阵和Gram-Schmidt正交化

2014-07-09 16:42 176 查看
今天我们学习一下正交向量(orthogonal vector)和正交矩阵(orthogonal matrix)。设有一组向量q1,q2…qn,如果任意的q都与其他的q正交,且每个q向量长度都为1,那么这组向量就是正交向量,用数学式子来表达就是:


注意准确说这组向量应该是标准正交向量(orthonormal vector),因为每个q向量长度都为1,即经过归一化的(normalization),但根据已有的惯例,其实没有标准正交向量(orthonormal vector)或标准正交矩阵(orthonormal matrix)这种说法,只有正交向量或正交矩阵的说法,所以要注意后面说的正交向量或正交矩阵其实已经是归一化的。

现将上面的正交向量放入矩阵Q,则Q=[q1……qn],由于

,则有

,若Q是方阵,那么Q存在逆矩阵,则QTQ等于I说明Q-1=QT,我们将列由正交向量构成的方阵称为正交矩阵(orthogonal
matrix),要注意Q必须是方阵才能称为正交矩阵。举几个正交矩阵的例子,比如

均是正交矩阵,它们是方阵,且每列都为单位长度,列之间两两垂直,满足QTQ=I,最后再给出一个比较特殊的例子,Q=


,这个矩阵称为Adhemar矩阵,全部由1和 -1构成,已有的研究表明2,4,16,64维的矩阵可以通过类似的方法构造,但是究竟哪些维数的正交矩阵可以由1和-1构成还不清楚,只能说有些维数可以,有些维数不行,比如说5维就不可能。

那么使用正交矩阵有什么好处呢?令矩阵Q为由正交向量构成的矩阵(Q不一定是方阵),现需要将向量b投影Q的列空间中,那么投影矩阵为


,因为

,所以公式变成

,如果矩阵Q是方阵且各列是标准正交的,即Q是正交矩阵,那么其列空间就是整个空间,那b投影到整个空间的投影矩阵是I,


,则Q-1=QT,这跟上面得到的结论是一致的,当矩阵Q各列正交时,不仅投影矩阵可化简,投影方程


也可化简,

左边等于单位阵,不需要再计算逆矩阵,得到


,也就是说




Gram-Schmidt正交化

Gram-Schmidt正交化方法是将线性无关的向量转化为标准正交化向量的方法,注意这里的前提,Gram-Schmidt正交化方法是对线性无关的向量操作,我们从最简单的两列情况开始,假设有两无关向量a、b,我想得到正交化向量A、B以及标准正交化向量q1、q2,第一个向量不变,即A=a,我们希望从b中求得一个向量,使其正交于A,结合上一篇博文,易得这个向量为e=b-p,其中p为b在A上的投影,e不可能为0,因为a、b是无关的,因此

,这就是Gram-Schmidt公式,假如再来一个向量c,即总共三个向量a,b,c,那么同样只要找到c中垂直于A、B两个向量的分量,

,最后进行归一化得到


,现在我们举个具体的例子,令

,则 有



所以

,记


(前面已经用A做过记号A=a,这里仍然取为A是因为以前的博文中使用的都是记号A,所以还是记为A吧,下面的A都是指


),Q的列空间和A的列空间是一样的,因为新计算的B和C只不过是a和b的组合。最后,跟消元类似,我们也可以从矩阵的角度来看Gram-Schmidt正交化,正交化过程可表示为A=QR,注意R是一个上三角矩阵,


,因此
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