机器学习第三课第一部分(矩阵方向变换,正交矩阵)

矩阵变换：沿任意轴旋转及其推导

1. 2D中绕原点旋转

设基向量p,q和r分别是朝向+x,+y和+z方向的单位向量。

旋转角度为θ，基向量p,q绕原点旋转，得到新的基向量p`和q`



即旋转矩阵R(θ)为



2. 3d中绕坐标轴旋转

01. 绕x轴旋转，基向量q和r旋转θ，得到新的基向量q`和r`



即旋转矩阵Rx(θ)为：



02. 绕y轴旋转，基向量p和r旋转θ，得到新的基向量p`和r`



即旋转矩阵Ry(θ)为：



03. 绕z轴旋转，基向量p和q旋转θ，得到新的基向量p`和q`



即旋转矩阵Rz(θ)为：



3. 绕任意轴旋转

这里不考虑平移，所以是过原点的任意轴。

任意轴用单位向量n表示，绕n旋转θ角度的矩阵表示为R(n,θ)，v`是向量v绕轴n旋转后的向量

v` = VR(n,θ)

我们的目标是用v,n和θ来表示v`，具体步骤如下：

将v分解为平行于n的分向量v||和垂直于n的分向量v⊥。v`⊥是v`垂直于n的分向量。



01.根据向量投影公式有



02.根据v||算出v⊥,w是v⊥与n叉剩的结果



03.根据w算出v`⊥



04.最后算出v`



05.现在已经得到了v`与v,n和θ的关系公式，用它来计算变换后的基向量并构造矩阵，基向量p`为



06.其余基向量类推，这里纠正上式中列向量的写法



07.合并为矩阵后：



更多内容参见：3d数学基础

两个向量正交:正交的向量内积为0