1、图的拉普拉斯矩阵

1.1 拉普拉斯算子

　　拉普拉斯算子 (Laplace Operator) 是为欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度的 散度，可以写作  $\Delta, \nabla^{2}, \nabla \cdot \nabla$  这几种形式。如果函数   $f$   是二阶可微的实函数，则   $f$   的拉普 拉斯算子可以写作:

　　　　$\Delta f=\nabla^{2} f=\nabla \cdot \nabla f$

　　这里简单介绍一下散度的概念：散度（divergence）用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度。散度描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点。值为正时表示该点为发源点，值为负时表示该点为汇聚点，值为零时表示该点无源。散度在物理上的含义可以理解为磁场、热源等。在笛卡尔坐标系中，矢量  $V$  的散度表示为：

　　　　$\nabla \cdot V=\frac{\partial V_{x}}{\partial x}+\frac{\partial V_{y}}{\partial y}+\frac{\partial V_{z}}{\partial z}$

　　那么拉普拉斯算子作为梯度的散度，则在笛卡尔坐标系中定义为：

　　　　$\Delta f=\sum \limits _{i=1}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}^{2}}$

　　也就是表示为函数  $f$  在各个维度上的二阶偏导数的和。

　　接下来来看一下拉普拉斯算子直观上表示什么含义，以一维空间为例：

　　　　$\begin{aligned}\Delta f(x)=& \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \\=& f^{\prime \prime}(x) \\\approx & f^{\prime}(x)-f^{\prime}(x-1) \\\approx &[f(x+1)-f(x)]-[f(x)-f(x-1)] \\=&f(x+1)+f(x-1)-2 f(x)\end{aligned}$

　　也就是说二阶导数近似于二阶差分，从这一角度来看拉普拉斯算子直观上表示函数  $f$  在当前点  $x$  的所有自由度上进行微小扰动后所获得的函数值的增益，这里有 2 个自由度，方向是  $x$  的  $+1$  和  $-1$  方向。
　　接着来看二维空间的例子:

　　　　$\begin{align*}\label{2}& \Delta f(x, y)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \\&\quad\quad\quad\quad\approx[f(x+1, y)+f(x-1, y)-2 f(x, y)]+[f(x, y+1)+f(x, y-1)-2 f(x, y)] \\&\quad\quad\quad\quad=f(x+1, y)+f(x-1, y)+f(x, y+1)+f(x, y-1)-4 f(x, y)\end{align*}$

　　二维空间中的拉普拉斯算子表征一个点  $x$   在  $4$  个自由度上微扰以后的函数增益，方向分别为  $  (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1) $。这就是图像中的拉普拉斯卷积核，如果算上对角线以后 可以认为有   $8$  个自由度：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/85287578
https://mp.weixin.qq.com/s/bkHxNONeTIzWUR6eiGjsmg
https://qddmj.cn/gcn-laplacian.htm
https://qddmj.cn/gcn-laplacian2.htm
https://zhuanlan.zhihu.com/p/81502804

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