正定矩阵，正交矩阵，对角化，可逆矩阵，奇异矩阵，相似矩阵

注意：矩阵A的行列式的值等于所有特征值的乘积。

1 正定矩阵

（若A为正定矩阵，则-A为负定矩阵。要判断一个矩阵H是否为负定矩阵，只需判断-H是否为正定矩阵）

正定矩阵是一种实对称矩阵。设A是实对称矩阵，如果对任意的实非零列矩阵X有XT*A*X>0,则称A为正定矩阵。

正定矩阵有以下性质：
（1）正定矩阵的行列式恒为正；
（2）A的一切顺序主子式均为正；
（3）A的特征值均为正；
（4）存在实可逆矩阵C，使A=C′C；
（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵；
（6）a[ i ][ i ]>0。
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：
（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
（2）计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶顺序主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。



2半正定矩阵

设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XT*A*X≥0，就称A为半正定矩阵。

 

对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。

3 可逆矩阵

逆矩阵:设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得:
AB=BA=E。则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

A是可逆矩阵的充分必要条件是∣A∣≠0，即A的特征值全不为零，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。(当∣A∣=0时，A称为奇异矩阵)

求法：A^(-1)=(1/|A|)×A*，其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵，其中|A|为矩阵A的行列式，A*为矩阵A的伴随矩阵。

逆矩阵的另外一种常用的求法:

(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))。

注意:初等变化只用行(列)运算，不能用列(行)运算。E为单位矩阵。

一般计算中，或者判断中还会遇到以下11种情况来判断是否为可逆矩阵:

1 秩等于行数

2 行列式不为0

3 行向量(或列向量)是线性无关组

4 存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵

5 作为线性方程组的系数有唯一解

6 满秩（矩阵为方阵时成立）

7 可以经过初等行变换化为单位矩阵

8 伴随矩阵可逆

9 可以表示成初等矩阵的乘积

10 它的转置矩阵可逆

11 它去左(右)乘另一个矩阵,秩不变

性质：1矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。

2 可逆矩阵一定是方阵。

3 如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。

4 可逆矩阵也是非奇异矩阵、满秩矩阵。

5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。

7 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。(满秩矩阵和可逆矩阵是等价的)
  

4 伴随矩阵

A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

设 D 是一个n阶行列式，aij（i、j
为下角标）是D中第i行第j列上的元素。在D中 把aij所在的第i行和第j列划去后，剩下的 n-1 阶行列式叫做元素 aij 的“余子式”，记作 Mij。把Aij = (-1)^(i+j) * Mij 称作元素 aij 的“代数余子式”。

对于三阶矩阵

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

首先求出各代数余子式

A11 = (-1)^2 * (a22 * a33 - a23 * a32) = a22 * a33 - a23 * a32

A12 = (-1)^3 * (a21 * a33 - a23 * a31) = -a21 * a33 + a23 * a31

A13 = (-1)^4 * (a21 * a32 - a22 * a31) = a21 * a32 - a22 * a31
……

A33 = (-1)^6 * (a11 * a22 - a12 * a21) = a11 * a22 - a12 * a21

然后伴随矩阵就是

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33  的转置矩阵

5 对角化

找到一篇不错的关于矩阵对角化的文章给大家参考：

http://www.doc88.com/p-579886134872.html

6 正交矩阵

定理

1. 方阵A正交的充要条件是A的行（列)向量组是单位正交向量组；

2. 方阵A正交的充要条件是A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基；

3. A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；

4. A的列向量组也是正交单位向量组。

5. 正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

 

 证明一个矩阵为正交矩阵，只需证明A*A^T = E

 

 7 奇异矩阵

奇异矩阵是线性代数的概念，就是该矩阵的秩不是满秩。

首先，看这个矩阵是不是方阵(即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵)。

然后，再看此矩阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵;若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。

 同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。

8相似矩阵

性质：

        若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.

              相似矩阵的其它性质:

             (1) 相似矩阵的秩相等;

             (2) 相似矩阵的行列式相等;

             (3) 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似.

9 矩阵秩的性质





注意：矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩

思考题：1.  AB=BA在什么条件下成立？      

                 当A,B都是N阶对称矩阵，则A^T=A, B^T=B，（AB）^T=AB,于是有AB=(AB)^T=B^T
A^T=BA

                 2.（A+B）^2=A^2+B^2+2AB在什么条件成立？
                       当AB=BA时成立，证明：(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=A^2+AB+AB+B^2=A^2+B^2+2AB