主子式大于等于零的矩阵是半正定矩阵的证明方法之二

命题

主子式大于等于零的实对称矩阵是半正定矩阵。

即：对于任意的 n∈N+, 对于任意一个实对称矩阵 An×n, 若它的的任意一个主子式 ≥0, 则 X⊺AX≥0,∀X∈Rn 。

证明

n=1 时， 对于任意一个实对称矩阵 A1×1, a11=|A|≥0, 因此 a11x2≥0,∀x∈R 。命题成立。

假设 n 时命题成立。则 n+1 时，

记 A=(A1α⊺αan+1,n+1),

An+1×n+1 的任意一个主子式 ≥0, 因此 an+1,n+1≥0 。

若 an+1,n+1=0, 则对于任意的 i∈N,1≤i<n+1,

∣∣∣ai,ian+1,iai,n+1an+1,n+1∣∣∣=ai,ian+1,n+1−ai,n+1an+1,i=−ai,n+12,

由于 ∣∣∣ai,ian+1,iai,n+1an+1,n+1∣∣∣≥0, 因此 ai,n+1=an+1,i=0, 于是 A=(A10⃗ ⊺0⃗ 0),

令 X=(X1xn+1)∈Rn+1, 则 X⊺AX=(X1⊺xn+1)(A10⃗ ⊺0⃗ 0)(X1xn+1)=X1⊺A1X1,

由归纳假设，X1⊺A1X1≥0, 因此命题成立。

若 an+1,n+1>0, 则

令 P=(E−an+1,n+1−1α⊺0⃗ 1),

则 P⊺AP

=(E0⃗ ⊺−an+1,n+1−1α1)(A1α⊺αan+1,n+1)(E−an+1,n+1−1α⊺0⃗ 1)

=(A1−an+1,n+1−1αα⊺α⊺0⃗ an+1,n+1)(E−an+1,n+1−1α⊺0⃗ 1)

=(A1−an+1,n+1−1αα⊺0⃗ ⊺0⃗ an+1,n+1)

令 B=A1−an+1,n+1−1αα⊺, 则 P⊺AP=(B0⃗ ⊺0⃗ an+1,n+1)

对于 B 的任意一个主子式 B′k×k, 设 B 中与 B′ 对应的行号为 n1,⋯,nk,

令 A1′=⎛⎝⎜⎜an1,n1⋮ank,n1⋯⋱⋯an1,nk⋮ank,nk⎞⎠⎟⎟k×k,α′=⎛⎝⎜⎜an1,n+1⋮ank,n+1⎞⎠⎟⎟k×1,

则 B′=A′1−an+1,n+1−1α′α′⊺,

令 A′=(A′1α′⊺α′an+1,n+1),Q=(Ek×k−an+1,n+1−1α′⊺0⃗ 1), 则

Q⊺A′Q

=(A′1−an+1,n+1−1α′α′⊺0⃗ ⊺0⃗ an+1,n+1)=(B′0⃗ ⊺0⃗ an+1,n+1)

由于 A′=(A′1α′⊺α′an+1,n+1)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜an1,n1⋮ank,n1an+1,n1⋯⋱⋯⋯an1,nk⋮ank,nkan+1,nkan1,n+1⋮ank,n+1an+1,n+1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟(k+1)×(k+1)

是 A 的一个主子式，因此 |A′|≥0,

又 |A′|=|Q|2|A′|=|Q⊺A′Q|=∣∣∣B′0⃗ ⊺0⃗ an+1,n+1∣∣∣=an+1,n+1|B′|,

因此 |B′|≥0, 故 B 的任意一个主子式 ≥0, 由归纳假设，X⊺BX≥0,∀X∈Rn

因此对于任意的 X=(X1xn+1)∈Rn+1,

X⊺(B0⃗ ⊺0⃗ an+1,n+1)X=(X1⊺xn+1)(B0⃗ ⊺0⃗ an+1,n+1)(X1xn+1)=X1⊺BX1+an+1,n+1xn+12≥0,

由于 P⊺AP=(B0⃗ ⊺0⃗ an+1,n+1), 因此 A 也是半正定矩阵。

因此命题成立。