矩阵相似证明相关
2016-10-24 00:25
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设A,B均为n阶矩阵,A可逆且A~B,则下列命题中:
AB~BA
A2~B2
AT ~BT
A−1~ B−1
全都成立,一一证明。
分析:
AB~BA, 因为题干说A可逆,是不是提示我们,A可以当作P这种可逆矩阵的角色? 即:A−1ABA=BA,左右同乘,恰好得证。
P−1A2P=P−1APP−1AP=(P−1AP)(P−1AP)=B2,所以A2~B2成立。
而对于AT ~BT,A−1~ B−1这两个我尝试了各种做法都没走通,直到晚上回来,突然想明白了:(ABC)T=CTBTAT,相似的是:(ABC)−1=CTBTA−1,这个恰好可以用在这里。则:由P−1AP=B,两边可以同时取转置,得:(P−1AP)T=PTAT(P−1)T=BT,又因为(P−1)T=(PT)−1,所以可以变化为下面的式子:PTAT(PT)−1=BT,P是可逆矩阵,PT也是可逆矩阵,则这个已经表明了AT ~ BT。
同理可以用在A−1~ B−1,即:(P−1AP)−1=P−1A−1(P−1)−1=B−1,即:P−1A−1P=B−1,立马可以得到:A−1~ B−1。
因此,四个全部成立。
AB~BA
A2~B2
AT ~BT
A−1~ B−1
全都成立,一一证明。
分析:
AB~BA, 因为题干说A可逆,是不是提示我们,A可以当作P这种可逆矩阵的角色? 即:A−1ABA=BA,左右同乘,恰好得证。
P−1A2P=P−1APP−1AP=(P−1AP)(P−1AP)=B2,所以A2~B2成立。
而对于AT ~BT,A−1~ B−1这两个我尝试了各种做法都没走通,直到晚上回来,突然想明白了:(ABC)T=CTBTAT,相似的是:(ABC)−1=CTBTA−1,这个恰好可以用在这里。则:由P−1AP=B,两边可以同时取转置,得:(P−1AP)T=PTAT(P−1)T=BT,又因为(P−1)T=(PT)−1,所以可以变化为下面的式子:PTAT(PT)−1=BT,P是可逆矩阵,PT也是可逆矩阵,则这个已经表明了AT ~ BT。
同理可以用在A−1~ B−1,即:(P−1AP)−1=P−1A−1(P−1)−1=B−1,即:P−1A−1P=B−1,立马可以得到:A−1~ B−1。
因此,四个全部成立。
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