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正交矩阵(Orthogonal Matrix)

2019-04-24 11:23 197 查看

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1. 定义

    正交矩阵: Orthogonal Matrix (必为方阵)

         

2. 特征

    1) 所有的列向量都是单位正交向量

    2) 所有的行向量都是单位正交向量

    3)detA = +1 或detA =-1

    4)若detA =1,则A为n维旋转矩阵 ( ),旋转矩阵X旋转矩阵=旋转矩阵

    5)向量X的范数(Norm) 或欧拉长度(Euclidean Length ):

         

    6)正交矩阵对向量进行正交变换,且正交变换不改变向量的长度(范数):

         设X的正交变换为AX,则AX的范数为: ,由此可见AX的范数与X的范数相等

3. 应用    

3.1 矩阵RQ分解

    1)定义:A = RQ   即A可以分解为R(上三角阵)与Q(旋转矩阵)

           下面以A是3x3矩阵为例进行算法分析:

           (1)  分为为绕X、Y、Z轴旋转的旋转矩阵,且其旋转角度分别为:

                           

          (2) 分解步骤思想:在A右乘绕坐标轴的旋转矩阵,使得AQ为上三角矩阵,即对角线以下的元素为0

                Step1: AQx:使A32 = 0

                Step2: AQxQy:使A31 = 0,且A31保持不变

                Step3: AQxQyQz:使用A21 = 0, 且A31、A32保持不变,则AQxQyQz为上三角矩阵。

                

        














           

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