力扣 - 剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

题目

剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

思路1（递归 / 自顶向下）

这题就是和上一题剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列基本一模一样，都是

fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)

0、1、1、2...

1、1、2、3、5...

• 这题是很常见的一道入门递归题，可以采用自顶向下的递归方法，比如我们要求第

  n

  个位置的值，根据斐波那契数列的定义

  fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)

  ，即等于前一个和前前一个两个的值之和

• 但是如果直接递归，会导致很多重复的计算，效率很低，比如

  n

  为 5 时：

  fib(5)

  为

  fib(4)

  和

  fib(3)

  两个值之和

  1. 然后

     fib(4)

     又等于

     fib(3)

     和

     fib(2)

     两个值之和。注意，

     fib(3)

     在上一步已经求过了，这里还要再求一次

  2. 另一个

     fib(3)

     即为

     fib(2)

     和

     fib(1)

     两个值之和，同样，

     fib(2)

     ，也被求过了

  3. ……

     

• 根据上面例子我们可以发现这样子会导致很多多余的计算，做无用功，也会出现由于

  n

  的增大导致计算量急剧增大。因此我们可以将这个算法优化一下，就是添加一个表格

  memory

  来记录计算过的值，在每次递归的时候，判断一下之前是否计算过了，如果发现计算过了，直接返回数组中对应的值，否则就计算一下，然后记录到

  memory

  表格里

代码

class Solution {

int[] memory;

public int numWays(int n) {
memory = new int[n+1];
return help(n);
}

public int help(int n) {
// 递归结束的条件
if (n <= 1) {
return 1;
}

// 判断是否计算过了
if (memory
 != 0) {
return memory
;
}

// 没有在 memory 中找到就计算一下，然后在记录到 memory 中
int i = help(n - 1) + help(n - 2);
i %= 1000000007;
memory
 = i;

return memory
;
}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N)
• 空间复杂度：O(N)

思路2（迭代 / 动态规划）

• 同样，根据斐波那契数列定义，可以发现第

  n

  个的值为前两个值之和，因此我们可以从第一个开始计算，循环计算到

  n

  就得到了结果，空间上仅仅占两个变量的空间，为 O(1) ，代码如下：

代码

class Solution {
public int numWays(int n) {
if (n <= 1) {
return 1;
}

int a = 1;
int b = 2;

for (int i = 2; i < n; i++) {
int temp = (a + b);
a = b;
b = temp;
b %= 1000000007;
}

return b;
}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N)
• 空间复杂度：O(1)