线性代数 矩阵消元与回代

determinants(行列式)

elimination(消元法)

通过消元法我们可以知道一个矩阵什么时候是好的矩阵,什么时候是坏的矩阵

x+2y+z=2x+2y+z=2

3x+8y+z=123x+8y+z=12

4y+z=24y+z=2

⎡⎣⎢130284111⎤⎦⎥[121381041]

矩阵的本质就是方程组

第一行第一列的1 称为主元(pivot)

第一行不变,因为他是主元行

⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥[12102−2041]

下一步要将(3,1)3行1列的位置变为0,这里已经是0了,所以不需要再变换

找寻下一主元,它在(3,2)的位置,然后重复上一个步骤

⎡⎣⎢1002201−15⎤⎦⎥[12102−1005]

这个就是消元的结果,记做U,U表示上三角矩阵(upper triangular).

消元的目的就是将矩阵从A变换成U

在这个过程中我们找到了三个主元,主元不能为0

坏矩阵,失效矩阵,指的是不能得到三个主元.

如果一行的主元为0,我们可以通过行变换,和下面的方程调换位置.

如果得不到三个主元,矩阵就不可逆比如将上面的方程换成

x+2y+z=2x+2y+z=2

3x+8y+z=123x+8y+z=12

4y−4z=24y−4z=2

最后化简的结果将是

⎡⎣⎢1002201−10⎤⎦⎥[12102−1000]

行交换可以解决的主元为0的称为”暂时性失效”,

但当底下的行中再也没有非0元素时,消元就彻底失效了

回代(back substitution)

增广矩阵(augment matrix)

⎡⎣⎢1302841112122⎤⎦⎥[1212381120412]

⎡⎣⎢1002241−21262⎤⎦⎥[121202−260412]

⎡⎣⎢1002201−1526−10⎤⎦⎥[121202−16005−10]

Ax=bAx=b 转换成了Ux=cUx=c

矩阵消元

矩阵乘法就是矩阵列的线性组合

matrix * column = column

第一步,从第二行里 减去 3倍的第一行

左边矩阵第一行,代表了对右边矩阵第一行的变换,第一行第一列,表示对本行做的乘法,第一行第二列表示对右边矩阵第二行做乘法,然后加上第一行变换之后的结果,第一行第三列表示对右边矩阵第三行做乘法之后, 加上前两次计算的结果.

用点乘的思想就是左边第一行,分别和右边每一列相乘得第一行的对应的元素

⎡⎣⎢1−30010001⎤⎦⎥[100−310001] ⎡⎣⎢130284111⎤⎦⎥[121381041] = ⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥[12102−2041]

初等矩阵(elementary matrix)

E21E21一个将第二行第一列变为0的初等矩阵

第二步,从第三行里 减去 2倍的第二行

⎡⎣⎢10001−2001⎤⎦⎥[1000100−21] ⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥[12102−2041] = ⎡⎣⎢1002201−15⎤⎦⎥[12102−1005]

综合起来

E32(E21A)=UE32(E21A)=U

什么矩阵能一次性将A变成U

E32(E21A)=UE32(E21A)=U

(E32E21A)=U(E32E21A)=U 这个是乘法结合律(associative law)

置换矩阵(permnutation)简单记为p

行变换

[0110][0110] [acbd][abcd] =
173c2
[cadb][cdab]

列变换

[acbd][abcd] [0110][0110] = [bdac][badc]

如何把A变成U,如何把U变成A,这就需要用到逆矩阵(inverse matrix)

⎡⎣⎢130010001⎤⎦⎥[100310001] ⎡⎣⎢1−30010001⎤⎦⎥[100−310001]= ⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥[100010001]

E−1E=IE−1E=I

参考文献:

http://open.163.com/movie/2010/11/P/P/M6V0BQC4M_M6V29EGPP.html