线性代数Lec02: 矩阵消元

1. 消元法

⎡⎣⎢130284111⎤⎦⎥(1)

依次消去主元1（x）,主元2（y）;(2)中对角线上的元素依次为主元

⎡⎣⎢1002201−25⎤⎦⎥(2)

1). Success

2). Failure

失效，指的是不能得到3个主元；0不能做主元，可通过行交换解决“暂时性失效”。

若主元位置为0且下面元素也为0，那么完全失效，即可逆矩阵。

2. 回代

增广矩阵：

⎡⎣⎢⎢1302841112122⎤⎦⎥⎥(3)

经过变换后为

⎡⎣⎢⎢1002201−2526−10⎤⎦⎥⎥

代入方程为

x+2y+z=22y−2z=65z=10

3. 消元矩阵

step1. 减去 -3*row1 from row2

左边矩阵称为初等矩阵，用E32表示，其中第一行表示(1 0 0)表示只取第一行，其他行不取；对于第二行(-3 1 0)表示第二行减去第一行*-3。

⎡⎣⎢1−30010001⎤⎦⎥⎡⎣⎢130284111⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥

step2. 减去2*row2 from row3

⎡⎣⎢10001−2001⎤⎦⎥⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1002201−21⎤⎦⎥

4. 矩阵相乘

如何将矩阵A通过一次变换成为矩阵U，可将

E32(E21A)=(E32E21)A;

这种移动括号的定律称为结合律，线性代数中很多证明都要用到这种定律。 但是乘法顺序不能变！！！

左边乘法，行变换

[0110][acbd]=[cadb]

右边乘法，列变换

[acbd][0110]=[bdac]

逆矩阵

对于step1中我们想恢复原来的数据，实际上找到变换矩阵的逆矩阵，对于A而言相当于乘以单位矩阵

step1中的逆操作为，加上3*row1 from row2

⎡⎣⎢130010001⎤⎦⎥⎡⎣⎢1−30010001⎤⎦⎥=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥