线性代数：矩阵消元

消元法
消元失效

回代

消元矩阵

扩展
单位矩阵

置换矩阵

本节是网易公开课上的麻省理工大学线性代数课程第二节：矩阵消元 的学习笔记。

消元法

本节将讨论 消元法 来求解线性方程组。

线性方程组的系数矩阵如果是一个好的矩阵（good matrix）可以使用消元法来得到结果，否则无法得到结果。消元完成后，使用 回代 就可以得到方程组的解。

需要求解的方程组如下：

x + 2y + z = 2
3x + 8y + z = 12
4y + z = 2

方程组使用矩阵可以表示为 Ax = b ：

⎡⎣⎢130284111⎤⎦⎥⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥=⎡⎣⎢2122⎤⎦⎥

思考一个问题，方程一乘以多少，然后用方程二减去它能够将方程二的系数 x 消去。用矩阵语言描述即系数矩阵 A 的第一行乘以多少，然后用第二行减去它能够使得第二行第一列的元素为0。这里将系数矩阵 A 的第一个元素（1）称为主元，与方程中的 x 系数对应。 乘以的这个数称为消元乘数。

很简单，我们将第一行乘以3，然后用第二行减去它，就能够将 第二行第一列的元素变为0。

⎡⎣⎢130284111⎤⎦⎥→row2=row2−3row1⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥

这里我们将矩阵的第二行第一列的元素（

(2,1)

）变为了0，所以使用

(2,1)

作为这一步的代号。下一步我们需要将第三行第一列变为0，代号为

(3,1)

。很幸运的是，我们发现它已经是0了。以上的操作都是针对主元一来进行的，即保留第一个方程的系数 x ，将第二个和第三个方程的系数 x 都消去。

接下来我们要操作的是主元二，即保留第一个和第二个方程的系数 y ，将第三个方程的系数 y 都消去。对应到矩阵中的操作为将第三行第二列的元素变为0，代号为

(3,2)

。操作过程为将第二行乘以多少，然后用第三行减去它，将第三行第二列元素变为0。答案很明显，消元乘数为2。

⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥→row3=row3−2row2⎡⎣⎢1002201−25⎤⎦⎥

经过上面的操作，我们得到了一个新的上三角矩阵，我们称它为矩阵 U。它的对角线表示所有主元，主元之积（

1 * 2 * 5 = 10

）为它的行列式。消元的目的是为了根据系数矩阵 A 计算出 矩阵 U。

注意：主元不能为0。

消元失效

什么情况下消元会失效呢？失效在这里是指不能得到三个主元。

主元为0，不代表主元永远是0。如果主元为0，可以使用行交换，来重新得到一个主元。

例如，如果将原始的系数矩阵 A 中的第二行第二列元素由8改为6，这样经过第一步操作后得到如下结果：

⎡⎣⎢130264111⎤⎦⎥→row2=row2−3row1⎡⎣⎢1002041−21⎤⎦⎥

这时候，主元二为0，但是我们可以考虑将第二行和第三行进行交换，就可以解决这个问题。但是有时候主元下面的位置也为0，就没法通过这种方式解决了。例如将原始系数矩阵 A 的第三行第三列改为-4。

⎡⎣⎢13028411−4⎤⎦⎥→row2=row2−3row1⎡⎣⎢1002241−2−4⎤⎦⎥→row3=row3−2row1⎡⎣⎢1002201−20⎤⎦⎥

这时候，主元三为0，也就是说不存在主元三，矩阵因此不可逆。可逆矩阵是之后的一节内容，这里先简单的提下。

行交换可以解决主元为0的“暂时性失效”问题，但是当底下的行也没有非0元素时，消元就彻底失效了。

回代

之前讨论的都只是系数矩阵 A 的变换，可以想象，在对方程进行消元时，右侧向量也会发生变化。如果把右侧向量加入到系数矩阵中会得到一个新的矩阵，称为增广矩阵。按照之前的逻辑，现在对增广矩阵进行变换。

⎡⎣⎢130284111|||2122⎤⎦⎥→row2=row2−3row1⎡⎣⎢1002241−21|||262⎤⎦⎥→row3=row3−2row2⎡⎣⎢1002201−25|||26−10⎤⎦⎥

右侧向量 b 经过消元后的结果为一个向量 [2,6,−10]

，该向量称为 向量 c 。

将变换后的增广矩阵转为方程：

x + 2y +  z = 2
2y - 2z = 6
5z = -10

该方程表示为矩阵形式为 Ux=c 。

根据方程三求出

z=-2

，将

z=-2

带入方程二中，求出

y=1

，将

z=-2,y=1

带入方程一种，求出

x=2

。

消元矩阵

之前已经使用矩阵表示了消元的过程，但是它只是一种简化版，想要真正使用矩阵进行消元，需要学习下面的知识。即使用矩阵乘以矩阵来得到消元后的矩阵。

现在要做的是使用矩阵来完成上面代号为

(2,1)

的过程，即将第二行第一列的元素变为0。即求出等式中的最左边矩阵。

⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎡⎣⎢130284111⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥

观察下，只需要改变第二行就可以了。所以要求的矩阵的第一行和第二行分别为

[1,0,0]

和

[0,0,1]

。

⎡⎣⎢100001⎤⎦⎥⎡⎣⎢130284111⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥

然后求出第二行。

⎡⎣⎢1−30010001⎤⎦⎥⎡⎣⎢130284111⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥

求出的这个矩阵称为初等矩阵，记为 E21 。现在我们要使用矩阵来求除代号为

(3,2)

的过程。即求出初等矩阵 E32 。这儿不讲求解过程，直接给出结果。

⎡⎣⎢10001−2001⎤⎦⎥⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1002201−25⎤⎦⎥

上面的过程用可以表示为：

E32(E21A)=U

如果我想一次性将 A 变换为 U，有没有好的办法呢？ 即

?A=U

我们可以使用矩阵的结合律来搞定，即：

(E32E21)A=U

扩展

单位矩阵

如果如果矩阵 A 乘以矩阵 I 的结果还是矩阵 A，或者矩阵 I 乘以矩阵 A 的结果为矩阵 A。则矩阵 I 称为单位矩阵。单位矩阵的主对角线为1，其余位置为0。例如一个二阶单位矩阵：

[1001]

置换矩阵

置换矩阵的作用是将矩阵的行或者列进行交换，

变换行，例如：

[0110][acbd]=[cadb]

变换列：

[acbd][0110]=[bdac]