线性代数笔记（行列式）

1）数域：含0和1，必须对四则运算封闭（闭合），也就是数域中的数进行加减乘除的结果还是数域中的数；
2）逆序：与顺序对应，大的数排在小的数前面就形成一个逆序；
3）偶排列，奇排列：如果拍列的逆序数为偶，则称偶排列，为奇数则称奇排列。这些定义为应用在后面的行列式变换中；
4）排列中两个元素的对换都改变排列的奇偶性（定理）；
5）任何一个排列J1,J2..Jn总可以通过对换与自然排列相互转化；且该排列与对换的次数同奇偶性；这个定理的好处是，我们在考虑排列时往往只需要考虑与之对应的自然数排列，从而便于处理。N个数的排列就只需要考虑用1到N的自然数来处理。排列的这种性质将在行列式和矩阵的变换中用到；
6）多重求和符号，多重求积符号；
7）n阶行列式：n*n个数排成n行n列；如果一些问题能映射成行列式，就可以利用行列式的性质来进行运算，比如N元线性方程组；
8）n阶行列式定义：(Aij)=∑(-1)^τ(j1j2...jn) *a1j1a2j2...anjn.
9) 行列式：从上面的行列式展开可以看出，行列式代表的是一个值，这与向量和矩阵是不同的。
10）行列式：主对角线，对角元素，上三角行列式，下三角行列式，三角行列式；
11）行列式的性质：
A）用数k去乘行列式的某一行（列）的所有元素，等于用k去乘这个行列式;(数乘法则）；
B）行列式d的任意两行（两列）对换，得到的新行列式D，满足：d=-D;
C）行列式有两行（列）相同（元素对应相等），则行列式的值等于0；
D）行列式的两行(列）对应成比例，则行列式的值等于0；
E）如果行列式的某行（列）上的元素都表示成两个数之和，则d可以表示成两个行列式之和（拆行相加）；
F）用一个数去乘行列式一行（列）上的所有元素，并分别加到另一行（列）的对应元素上，行列式值不变；
12）转置行列式：行列互换；值相等；
13）对称行列式，反对称行列式；奇阶反对称行列式等于0；
14）行列式的计算：展开法，化三角法（在MyMathLib中有具体算法).
15）行列式的按行（列在）展开：余子式Mij，代数余子式Aij，Aij=(-1)^(i+j) * Mij;
16）行列式展开：行列式d等于它的任意一行（列）的各元素与其代数余子式乘积之和；可以利用这个性质对行列式降阶；
17）范德蒙行列式：每一列元素都是某个数的0次幂到n-1次幂的排列；计算Vn的算法可参见行列式算法。
18）k阶子式，k阶余子式,k阶代数余子式；
19）拉普拉斯展开定理：更快的降阶方法；（行列式按行列展开的更一般推广）。
20）线性方程组的行列式解法（克莱姆法则）；具体算法见MyMathLib.
21) 线性方程组的消元法求解：利用矩阵的行初等变换。见MyMathLib。
22）通解，特解。