MIT 18.06 线性代数公开课笔记 Lecture06 列向量和零空间

所有子空间包含零向量. 任意两个子空间的并集不一定是子空间, 但其交是子空间.

列空间

对于矩阵 A=[112213314415]A=\begin{bmatrix} 1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\\ \end{bmatrix}A=⎣⎢⎢⎡​1234​1111​2345​⎦⎥⎥⎤​ , 每个列向量有四个元素, 故其列空间是 R4R^4R4 的一个子空间, 记做 C(A)C(A)C(A) . 其列空间显然不是整个 R4R^4R4 , 但是究竟有多小呢? 我们把它同线性方程组联系起来: Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b}Ax=b 对任意右侧向量 b\mathbf{b}b 都有解吗? 什么样的 b\mathbf{b}b 是有解的?

Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b}Ax=b 并不对任意 b\mathbf{b}b 都有解. 它有四个方程式, 却只有三个未知数. 由于它只有三个列向量, 列空间并不能充满整个 R4R^4R4 空间. 所以对于不在 C(A)C(A)C(A) 内的向量 b\mathbf{b}b , 线性方程组无解. 而当且仅当向量 b\mathbf{b}b 在 C(A)C(A)C(A) 内时, Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b}Ax=b 有解.

可以发现 AAA 中的列向量存在一定的关系, 第一列加第二列等于第三列, 这意味着它们是线性相关的, 也就是说有一个列向量在另外两个列向量张成的超平面上, 其向量空间没有任何贡献, C(A)C(A)C(A) 只是 R4R^4R4 中的一个二维子空间.

零空间 Null space

Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0}Ax=0 所有的解 x\mathbf{x}x 构成的空间, 对于 A=[112213314415]A=\begin{bmatrix} 1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\\ \end{bmatrix}A=⎣⎢⎢⎡​1234​1111​2345​⎦⎥⎥⎤​ , 零空间是 R3R^3R3 的一个子空间, 不同于列空间. 零空间必然包含 0\mathbf{0}0 .对于上面的 Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0}Ax=0 , 解是 c[11−1]c\begin{bmatrix} 1\\1\\-1 \end{bmatrix}c⎣⎡​11−1​⎦⎤​ , ccc 可以取任意实数.

为什么零空间是向量空间? 对于齐次线性方程组, 也就是形如 Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0}Ax=0 的方程组, 如果 x\mathbf{x}x 是解, x∗\mathbf{x}^*x∗ 也是解, 那么 x+x∗\mathbf{x}+\mathbf{x}^*x+x∗ 也是解. 并且 cxc\mathbf{x}cx 也是解, 于是零空间都是向量空间.

考虑方程组 Ax=[112213314415][x1x2x3]=[1234]A\mathbf{x}=\begin{bmatrix} 1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\2\\3\\4 \end{bmatrix}Ax=⎣⎢⎢⎡​1234​1111​2345​⎦⎥⎥⎤​⎣⎡​x1​x2​x3​​⎦⎤​=⎣⎢⎢⎡​1234​⎦⎥⎥⎤​ , 由于其解不包含原点, 故其解不构成向量空间.