bzoj1188 [HNOI2007]分裂游戏

Description

聪聪和睿睿最近迷上了一款叫做分裂的游戏。 该游戏的规则试： 共有 n 个瓶子， 标号为 0,1,2.....n-1, 第 i 个瓶子中装有 p[i]颗巧克力豆，两个人轮流取豆子，每一轮每人选择 3 个瓶子。标号为 i,j,k, 并要保证 i < j , j < = k 且第 i 个瓶子中至少要有 1 颗巧克力豆，随后这个人从第 i 个瓶子中拿走一颗豆 子并在 j,k 中各放入一粒豆子（j 可能等于 k） 。如果轮到某人而他无法按规则取豆子，那么他将输 掉比赛。胜利者可以拿走所有的巧克力豆！ 两人最后决定由聪聪先取豆子，为了能够得到最终的巧克力豆，聪聪自然希望赢得比赛。他思考 了一下，发现在有的情况下，先拿的人一定有办法取胜，但是他不知道对于其他情况是否有必胜 策略，更不知道第一步该如何取。他决定偷偷请教聪明的你，希望你能告诉他，在给定每个瓶子 中的最初豆子数后是否能让自己得到所有巧克力豆，他还希望你告诉他第一步该如何取，并且为 了必胜，第一步有多少种取法？ 假定 1 < n < = 21,p[i] < = 10000

Input

输入文件第一行是一个整数t表示测试数据的组数，接下来为t组测试数据（t<=10）。每组测试数据的第一行是瓶子的个数n，接下来的一行有n个由空格隔开的非负整数，表示每个瓶子中的豆子数。

Output

对于每组测试数据，输出包括两行，第一行为用一个空格两两隔开的三个整数，表示要想赢得游戏，第一步应该选取的3个瓶子的编号i,j,k，如果有多组符合要求的解，那么输出字典序最小的一组。如果无论如何都无法赢得游戏，那么输出用一个空格两两隔开的三个-1。第二行表示要想确保赢得比赛，第一步有多少种不同的取法。

Sample Input

2

4

1 0 1 5000

3

0 0 1

Sample Output

0 2 3

1

-1 -1 -1

0

正解：$SG$函数。

$HNOI$仅有的两道博弈论我都看了题解。。

这道题很有思维难度啊。。我们设$SG[i]$表示距离$n+1$为$i$步的状态的$SG$函数，显然$SG[1]=0$，我们可以依次求出$SG[i]$。

我们又发现，某个位置的豆子数只和它的奇偶性有关(这还是比较显然的，因为两人可以走相同的步，从而抵消掉)。于是我们把每一个位置看成一个子游戏，全局的$SG$值就是每个子游戏的$SG$值异或起来。

然后枚举$3$个位置，用$ans$异或当前位置的$SG$值，再异或转移以后两个位置的$SG$值，如果这个$SG$值为0，说明这个子状态必败，也就是题目求的一个方案。

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define inf (1<<30)
#define N (1010)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long

using namespace std;

int vis
,sg
,n,cnt,tot,ans;

il int gi(){
RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return q*x;
}

il int dfs(RG int n){
if (sg
!=-1) return sg
; ++cnt;
for (RG int i=1;i<n;++i)
for (RG int j=1;j<=i;++j)
vis[dfs(i)^dfs(j)]=cnt;
for (sg
=0;vis[sg
]==cnt;++sg
);
return sg
;
}

il void work(){
n=gi(),tot=ans=0;
for (RG int i=n,p;i;--i){
p=gi(); if (p&1) ans^=sg[i];
}
for (RG int i=1;i<n;++i)
for (RG int j=i+1;j<=n;++j)
for (RG int k=j;k<=n;++k)
if (!(ans^sg[n-i+1]^sg[n-j+1]^sg[n-k+1])){
if (++tot==1) printf("%d %d %d\n",i-1,j-1,k-1);
}
if (!tot) puts("-1 -1 -1"); printf("%d\n",tot); return;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("game.in","r",stdin);
freopen("game.out","w",stdout);
#endif
memset(sg,-1,sizeof(sg)),sg[1]=0;
for (RG int i=2;i<=22;++i) sg[i]=dfs(i);
RG int T=gi();
while (T--) work();
return 0;
}