【线性代数】在空间中的向量、矩阵与行列式

参考资料：平冈和幸《程序员的数学3：线性代数》。

1. 向量——空间

1.1 向量是什么

向量，可以看成一堆排列的数。

在空间中，一个向量可以表示一个点，比如

(2,3)

就表示二维平面上横坐标为2、纵坐标为3的点，也可以表示一个一个从原点指向它的有向线段。

当强调“排列的数”的概念时，一般用加粗小写字母如 x 表示，当强调“有向线段”的概念时，一般用带箭头的字母如 x⃗ 表示。

1.2 基底与向量空间

现在，我们把原来的坐标系抽掉，不去定义长度，不去定义角度，

(2,3)

只是单纯表示一个向量，只是一个从原点到终点的有向线段。在这个空间中，只保留最基本的向量相加和数乘运算。

如果把原点也去掉呢？那就是仿射空间。

现在要怎么表示向量？要看用什么为基准，选定基准（这里叫基底），然后就可以写出向量在该基底下的坐标。

后面会继续介绍的“可逆性”、“秩”、“特征值”等概念，都与基底的选择无关。

“有向线段”与“排列好的数”只是一一对应关系而已，至于怎么构造这种对应，就是基底的选择了。

构成基底的条件

两个条件要同时满足， (e⃗ 1,…,e⃗ n) 才能叫基底：

当前空间中的任意向量 v⃗ 都可以表示成

v⃗ =x1e⃗ 1+⋯+xne⃗ n

的形式。

上一条的表示方法是唯一的。

1.3 维数

定义完基底之后，来定义维数：

维数=基向量的个数=坐标的分量数

无限维的情况要注意

如果有两个无穷数列

x=(x1,x2,x3,…)y=(y1,y2,y3,…)

和数

c

，可以生成新的数列 u=x+y 和 v=cx，这些无穷数列组成的空间也可以看作线性空间，还有些如“全体函数”之类的，也可以看作无限维的空间。

但是需要特别注意，无限维下很多性质会不一样，特别是涉及“收敛”等概念时，一般情况下，不考虑无限维。

2. 矩阵——映射

2.1 矩阵就是映射！

将 n 维向量 x 乘上 m×n 的矩阵 A ，就得到了 m 维的向量 y=Ax。也就是说，指定了矩阵 A，也就指定了从一个向量到另一个向量的映射。

想像一下矩阵在空间中到底是怎么个映射，如矩阵 (1324)，就是把原来的基底 (10) 映射到(13)，成为新的基底，把基底(01)映射到(24)，成为新的基底。

而矩阵的乘积，就是映射的合成，比如矩阵 AB ，就表示先作 B 的映射，再作 B 的映射。

特别地，规定 A0=I，其中 A 的所有特征值不为0.

2.2 逆矩阵=逆映射

逆矩阵，相当于把原来映射后的向量再映射回去。

2.3 坐标变换

一般，坐标变换都可以写成“乘上一个矩阵”的形式。

坐标变换改变了向量吗？

作为有向线段实体的向量，没有被改变，但是，由于基底的改变，它在基底下的坐标被改变了。

2.4 转置矩阵

矩阵转置的意义在哪里？只有在定义了内积的线性空间中，我们才可以回答这个问题。这里暂且不解释。

共轭转置

对于复矩阵来说，共轭转置更加常用。共轭转置

A∗=A¯T

为什么对复矩阵来说常用共轭转置？这里暂且不解释。

3. 行列式——扩大率

3.1 体积扩大率

如方阵 A=(1.5000.5)，将二维图形沿着横轴拉伸原来的1.5倍，纵轴压缩原来的0.5倍，那么，原来图形的面积，现在变成了0.75倍。

如果不是对角矩阵呢？——用行列式来表示面积扩大率了。

如果是三阶方阵呢？——表示的是体积扩大率。

体积扩大率有什么用？

在微积分中，积分可以解释为由函数图像围成的面积，二重积分可以解释为由三元函数图像围成的体积。所以在多重积分的换元法中，Jacobian 矩阵起到了关键作用。

行列式还可以用来检测是否发生了退化，如果体积扩大率为0，那么就一定有某个维度被压缩至扁平了。

复矩阵的行列式？

复矩阵的行列式也是复数。

3.2 伴随矩阵

伴随矩阵 (adj A)A=det A.