线性代数:置换、转置矩阵和向量空间
2017-03-08 21:30
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转置置换矩阵
转置矩阵
置换矩阵
对称矩阵
向量空间
从矩阵中构建子空间
本节是网易公开课上的麻省理工大学线性代数课程第五节: 转置-置换-向量空间R 的学习笔记。
本篇主要讲解 转置、置换矩阵、向量空间和子空间。
之前我们遇到的消元矩阵都不需要通过行互换,但不是所有的矩阵排序都这么好。如果消元矩阵进行消元时,如果碰到了主元为0,则必须通过行互换来解决。这时 A=LU 就变为了 PA=LU , P 表示行互换的矩阵,它将各行互换为正确的位置,互换后,主元不会出现为0的情况。
(AT)i,j=Aj,i
直白的说,就是行的元素和列的元素互换了。例如:
⎡⎣⎢124331⎤⎦⎥T=[132341]
nxn阶的互换矩阵个数为:n!=n(n−1)...2⋅1 。
置换矩阵都是可逆的,并且它的逆矩阵等于它的转置(P−1=P)。所以 PTP=I
⎡⎣⎢3−17−118787⎤⎦⎥
上面讲了转置等于逆的置换矩阵,但是置换矩阵并不常见,但转置等于本身的对称矩阵还是很常见的。
我们很容易构造一个对称矩阵,例如:
使用 RTR,可得到:
⎡⎣⎢124331⎤⎦⎥[132341]=⎡⎣⎢1011711131171117⎤⎦⎥
其实,对于任何RTR得到的结果都是一个对称矩阵。证明如下:
(RTR)T=RTR
什么是向量空间呢?这儿的“空间”表示有很多向量(但并不是任意向量的组合),必须满足一些具体规则,必须进行加法和数乘两种运算,必须能够进行线性组合。
R2 就是一个向量空间, R2 说明我们讨论的是实数,向量用两个实数表示,所以这里均为二维实向量。例如: [3,2],[0,0],[π,e] 。我们可以做出图像:
整个平面则是 R2。
同样简单的还有 R3,R3 是所有三维实向量组成的向量空间,Rn是所有n维实向量组成的向量空间。
向量空间必须对数乘和加法运算是封闭的。
假设向量空间Rn有一个子集, 在其内,向量的加法和数乘运算结果依然在此空间内,这就是所谓的子空间。以R2为例,如何找到R2的向量子空间呢?
上图中过原点的一条直线(实线)其实就是R2 的一个向量子空间。假设该直线不过原点(如上图中的虚线),则不能构成向量子空间,因为数乘运算允许乘以0,这必然得到零向量。那R2 包含的所有向量子空间都有哪些呢?
R2 (即本身,最大的向量子空间)
过原点的直线
零向量(最小的向量子空间)
同理,R3 包含的所有向量子空间为:
R3 (即本身,最大的向量子空间)
过原点的平面
过原点的直线
零向量(最小的向量子空间)
假设矩阵A为:
⎡⎣⎢124331⎤⎦⎥
它的每列向量均属于 R3,所有列的线性组合(数乘和加法运算)构成了它的一个向量子空间,该向量子空间称为列空间。 如果将这个列空间画在 xyz 坐标系下,将会得到一个过原点的平面;如果构造列空间的列向量是共线的,那得到的向量子空间将是一个过原点的直线。
转置矩阵
置换矩阵
对称矩阵
向量空间
从矩阵中构建子空间
本节是网易公开课上的麻省理工大学线性代数课程第五节: 转置-置换-向量空间R 的学习笔记。
本篇主要讲解 转置、置换矩阵、向量空间和子空间。
之前我们遇到的消元矩阵都不需要通过行互换,但不是所有的矩阵排序都这么好。如果消元矩阵进行消元时,如果碰到了主元为0,则必须通过行互换来解决。这时 A=LU 就变为了 PA=LU , P 表示行互换的矩阵,它将各行互换为正确的位置,互换后,主元不会出现为0的情况。
转置、置换矩阵
转置矩阵
矩阵的转置公式如下:(AT)i,j=Aj,i
直白的说,就是行的元素和列的元素互换了。例如:
⎡⎣⎢124331⎤⎦⎥T=[132341]
置换矩阵
置换矩阵是指行重新排列的单位矩阵,其实单位矩阵就是一个特殊的置换矩阵。nxn阶的互换矩阵个数为:n!=n(n−1)...2⋅1 。
置换矩阵都是可逆的,并且它的逆矩阵等于它的转置(P−1=P)。所以 PTP=I
对称矩阵
对称矩阵表示矩阵转置后还等于本身的矩阵。即 AT=A。例如下面的一个矩阵:⎡⎣⎢3−17−118787⎤⎦⎥
上面讲了转置等于逆的置换矩阵,但是置换矩阵并不常见,但转置等于本身的对称矩阵还是很常见的。
我们很容易构造一个对称矩阵,例如:
使用 RTR,可得到:
⎡⎣⎢124331⎤⎦⎥[132341]=⎡⎣⎢1011711131171117⎤⎦⎥
其实,对于任何RTR得到的结果都是一个对称矩阵。证明如下:
(RTR)T=RTR
向量空间
向量有什么运算呢?向量可以进行数乘,例如 3v,向量可以进行相加,例如 v+y。什么是向量空间呢?这儿的“空间”表示有很多向量(但并不是任意向量的组合),必须满足一些具体规则,必须进行加法和数乘两种运算,必须能够进行线性组合。
R2 就是一个向量空间, R2 说明我们讨论的是实数,向量用两个实数表示,所以这里均为二维实向量。例如: [3,2],[0,0],[π,e] 。我们可以做出图像:
整个平面则是 R2。
同样简单的还有 R3,R3 是所有三维实向量组成的向量空间,Rn是所有n维实向量组成的向量空间。
向量空间必须对数乘和加法运算是封闭的。
假设向量空间Rn有一个子集, 在其内,向量的加法和数乘运算结果依然在此空间内,这就是所谓的子空间。以R2为例,如何找到R2的向量子空间呢?
上图中过原点的一条直线(实线)其实就是R2 的一个向量子空间。假设该直线不过原点(如上图中的虚线),则不能构成向量子空间,因为数乘运算允许乘以0,这必然得到零向量。那R2 包含的所有向量子空间都有哪些呢?
R2 (即本身,最大的向量子空间)
过原点的直线
零向量(最小的向量子空间)
同理,R3 包含的所有向量子空间为:
R3 (即本身,最大的向量子空间)
过原点的平面
过原点的直线
零向量(最小的向量子空间)
从矩阵中构建子空间
### 通过列向量构造假设矩阵A为:
⎡⎣⎢124331⎤⎦⎥
它的每列向量均属于 R3,所有列的线性组合(数乘和加法运算)构成了它的一个向量子空间,该向量子空间称为列空间。 如果将这个列空间画在 xyz 坐标系下,将会得到一个过原点的平面;如果构造列空间的列向量是共线的,那得到的向量子空间将是一个过原点的直线。
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