【线性代数】矩阵、向量、行列式、特征值与特征向量（掌握这些概念一篇文章就够了）

在数学领域中，线性代数是一门十分有魅力的学科，首先，它不难学；其次，它能广泛应用于现实生活中；另外，在机器学习越来越被重视的现在，线性代数也能算得上是一个优秀程序员的基本素养吧？

一、线性代数的入门知识

很多人在大学学习线性代数时，国内教材书上大多一开始就是行列式的表示、计算、性质等等东西，让人看得云里雾里，一头雾水，然后要花很多时间才大概知道线性代数是个什么东西。本文不提书上晦涩难懂的内容，尽量用大白话来阐述我对线性代数的浅显理解。

（一）矩阵

1、矩阵的表示

在中学的时候，我们会经常看到这样子的方程组：

{2x−4x−+y2y==00(1)

⎧⎩⎨2xxx+−+3yy2y++−z2zz===6−15

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a11x1a21x1a31x1am1x1++++a12x2a22x2a32x2am2x2++++⋯⋯⋯⋮⋯+a1nxn+a2nxn+a3nxn+amnxn====b1b2b3bm

看到这样子的方程组，不由感到十分怀念。不过有没有这种感想，当年解三元一次方程组的时候，特别烦，消元后要抄一遍，代入后又抄一遍，特别麻烦。于是数学家发明了矩阵，把方程组中所有系数写到了一个框里面，把所有未知数写到第二个框里，把所有等式右边的值写到第三个框里。

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a11a21a31⋮am1a12a22a32⋮am2a13a23a33⋮am3⋯⋯⋯⋯a1na2na3n⋮amn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢x1x2x3⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢b1b2b3⋮bm⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(2)

比如方程组 (1) 也可表示为：

[2−4−12][x1x2]=[00]

观察 (2) 式不难发现，复杂的方程组用矩阵表示后，还是很复杂，所以可以把 (2) 式更加简洁地表示成增广矩阵：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a11a21a31⋮am1a12a22a32⋮am2a13a23a33⋮am3⋯⋯⋯⋯a1na2na3n⋮amnb1b2b3bm⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

同理，比如方程组 (1) 也可表示为增广矩阵：

[2−4−1200](3)

特别地，当方程组的等式右边全为0，即bi=0，其中i=1,2,3…n时，方程组为齐次线性方程组，增广矩阵可直接表示成系数矩阵。比如增广矩阵 (3) 可直接表示成：

[2−4−12]

我们称，方程组的等式右边全为0的方程组为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。

2、矩阵的解方程组

（1）齐次线性方程组

来回顾一下这个方程组：

{2x−4x−+y2y==00(1)

等式右边全为0，所以把这个方程组写成矩阵形式：

A=[2−4−12]

要解这个方程组，当然使用消元法，不同于中学的是直接在矩阵里面消元：

[2−4−12]“第一行的2倍加到第二行，得”−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−[20−10]

看到消元后的新矩阵是不是觉得很直观，如果你你把新矩阵还原成方程组的形式，有：

{2x0x−+y0y==00⇒2x−y=0

仔细观察可发现，原本有两个式子的方程组经过消元后，变成了只有一个方程组。这种情况在中学时，无论做多少题都不会遇到的，因为在中学里，学的初等数学方程组都是有唯一解的。而在线性代数中，我们把这种情况成为方程组系数矩阵的秩为1，记为r(A)=1。当矩阵的秩小于未知数的个数时，方程组有无数个解；当矩阵的秩等于未知数的个数时，方程组只有零解。

由于方程组(1)有两个未知数，而r(A)=1<2，所以方程组(1)有无数个解。设 y=2 ,则 x=1；再设 k 为任意常数，则 x=k, y=2k 为方程组(1)的解，写成矩阵的形式为：

[2−4−12][1k2k]=[00]

（其中，[12]称为方程组(1)的基础解系）

（2）非齐次线性方程组

再来看一个3个未知数的方程组：

⎧⎩⎨2xxx+−+3yy2y++−z2zz===6−15

右边等式不为0，改写成增广矩阵：

[Ab]=⎡⎣⎢⎢2113−1212−16−15⎤⎦⎥⎥

同理，对 [ A | b] 进行初等行变换（即消元）：

[Ab]→⎡⎣⎢⎢121−13221−1−165⎤⎦⎥⎥→⎡⎣⎢⎢100−1532−3−3−186⎤⎦⎥⎥→⎡⎣⎢⎢100−15152−3−15−1818⎤⎦⎥⎥→⎡⎣⎢⎢100−1502−3−6−186⎤⎦⎥⎥

这一次进行初等行变换后，对于任意的非齐次线性方程组，当 r(A)=r(A|b)=未知数的个数 时，非齐次线性方程组有唯一解；当 r(A)=r(A|b)<未知数的个数 时，非齐次线性方程组有无数个解；当 r(A) 不等于 r(A|b) 时，非齐次线性方程组无解。

可见 r(A)=r(A|b)=3，所以[A|b]有唯一解，写回方程组形式：

⎧⎩⎨x00−++y5y0+−−2z3z6z===−186

解得唯一解为：⎡⎣⎢−4−11⎤⎦⎥，也可以写成矩阵的转置：[−4−11]T

（二）向量

中学时期学的向量是在笛卡尔直角坐标系下表示的向量。而在线性代数中，向量可以表示到三维以上，难以再以三维所见所得来理解向量，从而向量变得非常抽象。本文不涉及很多抽象概念，力求用大白话来理解和解释向量。

1、列向量

可能是数学家觉得用矩阵来代表方程组还是太麻烦还废纸，所以又苦思冥想，最终想到了用向量再来继续简化矩阵，举个例子：

有这么一个矩阵：⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a11a21a31⋮am1a12a22a32⋮am2a13a23a33⋮am3⋯⋯⋯⋯a1na2na3n⋮amn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥，

将矩阵按列分块：⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a11a21a31⋮am1a12a22a32⋮am2a13a23a33⋮am3⋯⋯⋯⋯a1na2na3n⋮amn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

随便选一列出来，假设选第i列⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a1ia2ia3i⋮ami⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥出来

假设给第1列一个头衔为α1；

同理给第2列一个头衔为α2；

⋯

同理给第n列一个头衔为αn；

那么，

α1=[a11a21a31⋯am1]T

α2=[a12a22a32⋯am2]T

⋯

αm=[a1na2na3n⋯amn]T

可见，

原矩阵中的第 i 列只要用 αi 表示即可。这个小小的 αi，我们称之为列向量。

原矩阵共有 m 行，则向量 αi 中有 m 个分量（元素），也叫做 m 维向量。

用 n 个 m 维向量来表示原矩阵：

A=[α1α2α3⋯αm]

另外，矩阵A中把 α1, α2, α3, … , αm 多个向量称为向量组。

3、行向量

有列向量，自然有行向量。

同理，我们对矩阵A按行分块，并对每行元素用向量表示。

α1=[a11a12a13⋯a1n]

α2=[a21a22a23⋯a2n]

⋯

αm=[am1am2am3⋯amn]

可见，

原矩阵中的第 i 行只要用 αi 表示即可。这个小小的 αi，我们称之为行向量。

原矩阵共有 n 列，则向量 αi 中有 n 个分量（元素），也叫做 n 维向量。

用 α1, α2, α3, … , αn 向量组来表示原矩阵：

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢α1α2α3⋯αn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

显然，用向量组便可轻松对矩阵瘦身。

3、线性相关与线性无关

（1）线性相关

假设有这么一个矩阵

A=[2−4−12]

我们对其按行分块，则有向量：

α1=[2−1]

α2=[−42]

如果用行向量 α1, α2, α3, … , αn 来表示的矩阵A经过初等行变换后，某行（即某个向量αi）的元素全变为0，那么则称 α1, α2, α3, … , αn 向量组线性相关（可以理解为多个向量间或系数矩阵有线性关系）。

如果齐次线性方程组的系数矩阵有线性关系，那么齐次线性方程组有无穷多个解。为了看清楚 α1, α2, α3, … , αn 是否线性相关，对矩阵A进行初等行变换后，发现：

[20−10]

所以， α1, α2, α3, … , αn 向量组线性相关。

（2）线性无关

假设有这么一个矩阵

A=⎡⎣⎢121−13221−1⎤⎦⎥

我们对其按行分块，则有向量：

α1=[1−12]

α1=[231]

α1=[12−1]

如果用行向量 α1, α2, α3, … , αn 来表示的矩阵A经过初等行变换后，某行（即某个向量αi）的元素不全为0，那么则称 α1, α2, α3, … , αn 向量组线性无关。

为了看清楚 α1, α2, α3, … , αn 是否线性无关，对矩阵A进行初等行变换后，发现：

⎡⎣⎢100−1502−3−6⎤⎦⎥

所以， α1, α2, α3, … , αn 向量组线性无关。

4、向量空间

向量空间是线性代数中抽象的一部分，常用于物理研究中探索多维空间的奥秘（有没有用于物理中不太清楚，感觉的）。

在笛卡尔直角坐标体系中，向量(1,0), (0,1)分别代表了横坐标轴、纵坐标轴，对这两个向量线性组合的整体就可以表示出一个平面，即2维向量空间；向量(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)分别代表了x坐标轴、y坐标轴、z坐标轴，对这三个向量线性组合表示出的整体可表示出一个3维向量空间；以此类推。

有规律的是，n 维向量空间中的 n个坐标轴向量是互相垂直的（就算是4维空间的4个坐标轴也是垂直的，只不过我们处于三维中，难以感知到四维空间，只能想象）。我们称向量间的垂直为正交。数学家对向量空间更是大开脑洞，认为不一定是笛卡尔体系的(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)才能是坐标轴，只要是线性无关的向量组中的n个向量都可以当做是n维向量空间中的坐标轴，相当于将笛卡尔坐标体系的原点固定住，将所有坐标轴就像陀螺一样旋转某个角度，得出的新坐标轴肯定是线性无关的。

“n个向量组成的线性无关向量组，在n维向量空间中，可充当坐标轴。”这就是线性代数的向量空间的核心思想。

（三）行列式

行列式作为国内各个教材书中的第一个章节的内容，证明了其在线性代数中的重要性。但是如果从教材中的行列式入手学习线性代数，那是要吃不少苦头的，因为只学了行列式，没有具备矩阵和向量的知识的情况下，很容易一脸懵逼。由于行列式涉及的概念、性质、计算众多，所以本文只简单介绍一下行列式。

行列式的本质是什么？柯西给出了答案。

假设在一个平面中有两个向量：

x1=(a, c), x2=(b, d)；

x1与横坐标的角度为α，x2与横坐标的角度为β；

x1的模为 ||x1||，x2的模为 ||x2||；

如图：



我们要求图中的 S，即向量平移后端点相交而围成的平行四边形的面积：

S = ||x1|| · ||x2|| · sin(β-α)

= ||x1|| · ||x2|| · (sinβcosα - cosβsinα)

= ad - bc

对 x1 和 x2 向量类似行向量那样子对元素命名：

x1=(a11, a12)

x2=(a21, a22)

重新得到 S = a11 · a22 - a12 · a21，

数学家对向量 x1 和 x2 写成行列式，代表了 S 的值：

S=∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣

行列式不过就是将矩阵的括号改成了两条竖线，用竖线包着的元素，最终可以算出一个数，这个数就是行列式，行列式就是一个数，这个数是不同行不同列元素乘积的代数和。而矩阵本质为表格或数组，这是两者不同之处。

如果继续推，可以推出：在二维空间，行列式是面积；在三维空间，行列式是体积；在高维空间，行列式是一个数。换句话说，就是由n个向量组成的线性无关向量组，可以表示成行列式，并且算出的结果肯定不为0。以次可推，由n个向量组成的线性相关向量组表示成的行列式值为0。

（四）特征值与特征向量

特征值与特征向量在线性代数中是最难理解的内容，尤其在阅读国内教程时，直接一个定义拍到脸上，让人措手不及。特征值与特征向量是线性代数的核心，在机器学习算法中应用十分广泛。

1、定义

首先，讲到特征值与特征向量，必先讲到定义：

设 A 是 n 阶矩阵，如果存在一个数 λ 及非零的 n 维列向量 α ，使得

Aα=λα

成立，则称 λ 是矩阵 A 的一个特征值，称非零向量 α 是矩阵 A 属于特征值 λ 的一个特征向量。

观察这个定义可以发现，特征值是一个数，特征向量是一个列向量，一个矩阵乘以一个向量就等于一个数乘以一个向量。这个定义感觉太抽象了，我们来举一个具体的例子：

设 A 是 3 阶矩阵，

A=⎡⎣⎢11−31−21−123⎤⎦⎥

存在一个数 λ ，

λ=4

且存在一个非零的 3 维列向量 α ，

α=⎡⎣⎢−4517⎤⎦⎥

使得 Aα = λα，即

⎡⎣⎢11−31−21−123⎤⎦⎥⎡⎣⎢−4517⎤⎦⎥=4⎡⎣⎢−4517⎤⎦⎥(4)

则称 λ=4 为矩阵A的特征值，

（为了方便，简称 4 为特征值）

也称 α=[ -4, 5, 17 ]T 是矩阵A属于特征值为 4 的一个特征向量。

（为了方便，简称 [ -4, 5, 17 ]T 为特征向量）

对于上面的(4)式，我们可以把它还原为方程组验证此式是否成立，还原过程如下：

⎡⎣⎢⎢11−31−21−123⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢(−4)(5)(17)⎤⎦⎥=4⎡⎣⎢−4517⎤⎦⎥

⟹−4⎡⎣⎢11−3⎤⎦⎥+5⎡⎣⎢1−21⎤⎦⎥+17⎡⎣⎢−123⎤⎦⎥=4⎡⎣⎢−4517⎤⎦⎥

⟹⎧⎩⎨1×(−4)1×(−4)(−3)×(−4)+++1×5(−2)×51×5+++(−1)×172×173×17===4×(−4)4×54×17

⟹⎧⎩⎨−4−412+−+5105−++173451===−162068

显然，每个等式两边相等， Aα = λα 成立！（如果不知道为什么可以还原成方程组的话，请翻回到上面的非齐次方程组部分，可发现在这里 α 相当于解向量， λα 相当于 b 向量）

2、特征值与特征向量的个数

如果是自学线性代数的话，很容易有这么一个误区：认为一个矩阵的特征值与特征向量只有一个。其实，一个矩阵的特征值可以有多个，相应地，特征向量的个数也随着特征值的数量的变化而变化。

总的来说，一个n行n列的矩阵的特征值个数少于或等于 n 个。

还是以矩阵A为例，满足 Aα = λα 的式子有：

（1）

⎡⎣⎢11−31−21−123⎤⎦⎥⎡⎣⎢−4517⎤⎦⎥=4⎡⎣⎢−4517⎤⎦⎥

特征值 λ1 = 4，特征向量 α1 = [ -4 5 17 ]T。

（2）

⎡⎣⎢11−31−21−123⎤⎦⎥⎡⎣⎢111⎤⎦⎥=1⎡⎣⎢111⎤⎦⎥

特征值 λ2 = 1，特征向量 α2 = [ 1 1 1 ]T。

（3）

⎡⎣⎢11−31−21−123⎤⎦⎥⎡⎣⎢1−31⎤⎦⎥=−3⎡⎣⎢1−31⎤⎦⎥

特征值 λ3 = -3，特征向量 α3 = [ 1 -3 1 ]T。

另外，一个特征值对应的特征向量的个数也不一定只有一个。 （由于这句话会引申出特别多的性质，所以本文就不举这句话的例子了）

3、给定一个矩阵，求特征值与特征向量的方式

求特征值与特征向量为这么一个过程：设A为n阶矩阵，a为非零列向量，λ是一个数，

Aa=λα，α≠0

移项，

⟹λα−Aα=0

利用结合律，由于 λ 是一个数不能直接减矩阵A，所以给 λ 乘以一个单位矩阵E。假设E为2阶单位矩阵，E=(1001)，即从左上角到右下角的对角线上的元素全为1，其余为0，

⟹(λE−A)α=0(5)

把(5)式中的矩阵(λE-A)看做是矩阵B，把a列向量看做是x解向量，那么Ax=0是一个齐次线性方程组，由于列向量x不等于0，所以这个齐次线性方程组没有零解，矩阵A每行当作列向量组成的向量组线性相关，于是根据上面行列式的结论，矩阵A写成行列式|A|后算出的结果为0，

⟹|λE−A|=0(6)

解(6)式即可解出多个 λ 值，如 λ1, λ2, λ3 … λn ，将 λi 值代回到(5)式，按照求解齐次线性方程组的方式，即可解出属于 λi 的非零特征向量 ai 。

⟹(λiE−A)a=0⟹αi=[a1,a2,...,an]T

由于本文对行列式介绍的篇幅太少，而求特征值与特征向量会涉及对行列式的计算，所以博主我就不举例子了（其实是懒）。

4、特征值与特征向量该怎么理解

仔细看本文的童鞋就会发现，一个矩阵并非只是单纯的一张表格、数组，它还代表了某种神奇的魔力，与某个向量相乘后，还能变成一个数。换句话说，保存着很多个数的矩阵经过与特定的向量相乘后，塌缩成了一个数。

Aa=λα

对于特征值与特征向量，有许多不同的理解，我自己从网络上的观点总结了一下，大概分为三种理解：

第一种理解：从向量的角度来看，一个列向量在左乘一个矩阵后，会经过一系列的线性变换，最终向量的长度会变成原来的 λ 倍。

第二种理解：从矩阵的角度来看，矩阵是一种线性变化的描述，特征向量是一个不变的方向，特征值是线性变化的结果。

第三种理解：从向量空间的角度来看，因为不同特征值对应的特征向量线性无关，把每个特征向量看做是一个坐标轴，特征值是对应坐标轴（即特征向量）的坐标值。简单来说，就是用特征值（坐标）与特征向量（坐标轴）来表示原矩阵。

以上三种理解由浅入深，第三种理解才是本质的理解，但首先需要对向量空间有深刻的理解。

二、一些不错的学习资源

本文讲述的线性代数仅为入门知识，乃整个线代学科的冰山一角，虽然文章中多处吐槽了国内的线性代数教材，但是学习线代还是离不开教材的，推荐老美的《线性代数及其应用》。其实网上也有不少好的线性代数资料，以下列举部分我看过的、或参考的资料。

（一）视频

如果不是为了考试的话，推荐直接看视频学习。

1、《麻省理工公开课：线性代数》

2、《可汗学院公开课：线性代数》

（二）博文

列举一些写得比较好的博文：

1、线代的入门：《如何生动有趣的入门线性代数》

2、线代的基础：《线性代数知识汇总》

3、线代的理解：《关于线性代数》

4、结合概率统计的线性回归算法：《机器学习之线性回归及代码示例》

5、主成分分析法（PCA）的原理：《一分钟理解 PCA 的原理》

6、PCA的简单解释：《浅解PCA》

7、PCA的通俗理解：《通俗理解PCA降维作用》

8、人脸识别之特征脸算法理论：《特征脸EigenFace与PCA》

9、特征脸的实战：《运用特征脸方法的基于Opencv的猫脸检测实现》

10、矩阵的md格式参考于：《使用LaTeX写矩阵》

最后一点点话

以上内容的整理花了我不少时间，有误之处，请多多指点。

转载请留言，原创于：http://blog.csdn.net/a727911438?viewmode=contents