【线性代数】逆矩阵复习

参考资料：平冈和幸《程序员的数学3：线性代数》。

问题

考虑一个简单的问题：y=Ax，该如何寻找 x，使得满足该条件？

良性问题

如果矩阵 A 是方阵，并且是可逆矩阵（正则矩阵、非奇异矩阵），那么可以直接解出 x=A−1y，就称之为良性问题，反之，就叫恶性问题，比较麻烦。

对于良性问题，可以用矩阵的初等变换来做，比较简单，这里不再多说。

恶性问题

当 x=(x1,⋯,xn)T 与 y=(y1,⋯,ym)T 的维数不同时，该怎么办？

核（kernal）与象（image）的概念

当 m<n 时，A 表示从高维到低维的映射，是一个“压缩扁平化”的操作。会有多个 x 对应到同一个 y 上。

对于给定的 A，满足 Ax=0 的所有 x 的集合被称为 A 的核，记作 KerA。对于非“压缩扁平化”的映射 A，KerA 是0维的，仅由原点 O 一点构成。

对于给定的 A，将 x进行各种不同的变换，在 A 的作用下，y=Ax构成的集合，称为 A 的象，记作 ImA。将 A=(a1,⋯,an) 按列分块，于是 ImA 也叫“由向量 a1,⋯,an 张成的线性子空间”，记为 span{a1,⋯,an}。

维数定理及秩

对于 m×n 的矩阵 A，有

dimKerA+dimImA=n

其中，dim 表示维数。

dimImA 我们又称之为秩，记作 rankA.

瓶颈型分解

根据 m×n 的矩阵 A 的秩 r，可以将矩阵 A 分解为宽仅为 r 的矩阵 B 和高仅为 r 的矩阵 C 的乘积：A=BC.

相当于先将 n 维空间中的向量先压缩到 r 维空间中，再将它扩张到 m 维空间中。

在扩张的过程中，已经丢失了的信息再也找不回来了。

举个秩为2的矩阵进行分解的例子：

⎛⎝⎜⎜⎜1611162712173813184914195101520⎞⎠⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜1111051015⎞⎠⎟⎟⎟(1121314151)