线性代数(十五)：对偶空间与矩阵的转置

0 可能需要预习的知识

线性空间

线性映射与矩阵

1 线性标量值函数

(i)设X是域K上的线性空间。L是定义在X上的标量值函数：L ： X->K

如果对任意x，y∈X都有：L(x+y)=L(x)+L(y)

对任意x∈X k∈K 都有：L(kx) = kL(x)

则称L是线性标量值函数(下边简称为线性函数)

(i) 线性函数之和依照函数在每一点的加法定义,设L,M为两个线性函数：

(L+M)x = L（x）+M（x）

(iii)线性函数的数乘运算依照函数在每一点的数乘：

(5L)x=5(L(x))

2 对偶空间

(i)对偶空间是在线性空间的概念基础上再次抽象得到的概念。并且对偶空间有着很多的应用，这里为了引出转置的概念，因此不做过多深入的探讨

(ii)线性空间X上的全体线性函数本身构成一个线性空间,这个空间叫做X的对偶空间记做X’ (根据上边线性函数的性质很容易证明这是一个线性空间，证明省略).

(iii)对偶空间的维度与原空间相同，因此他们的元素具有相同的分量数。

(iv)如果我们让一个线性空间X是全体有n个分量的列向量组成的空间。让他的对偶空间X'是全体有n个行向量组成的空间。

那么取a∈X ,b∈X’则下边是对偶空间中的元素作用在其对应的线性空间上的元素的一个例子:

3 线性映射的转置

(i)线性空间X上的映射T：X->U  L属于U‘（即L是U上的线性函数）令m=LT  则m ∈X’：

m(x)= L(Tx). 这就将U'中的一个函数对应到X'中，这种对应关系也是一个线性映射。叫做T的转置。记做：



(其中的上标T是transpose的意思)

可以看出线性映射T的转置实际上是T的目标空间的对偶空间到T的域空间的对偶空间的线性变换

4 矩阵的转置：

(i)将上边转置的定义中的线性映射替换为矩阵（之前介绍过矩阵可以表示线性映射）,就得到了矩阵转置的定义：

一个mxn的矩阵A对应于一个线性映射 T : R^n->R^m ，它将一个n维向量映射为一个m维向量,而A的转置的域空间是A的目标空间的对偶,

A转置的目标空间是A的域空间的对偶。因此A的转置是由m维空间到n维的线性映射。所以 A的转置 是一个nxm的矩阵。

A的转置记法同上有些地方也记做：A' (如matlab)

(ii)转置矩阵的求法：观察一下三个映射：



将他们对应到矩阵的话：

L是一个mx1行向量 

T是mxn的矩阵

x是1xn的列向量

现在令 m(x)=L(T(x))=(LT)x

根据上边映射的转置的概念有：

m(x)=(T'L)x 因此有：

T‘L=LT (这个式子需要注意它对线性映射来说是没问题的，但是换成矩阵会出现问题如果左边的L还是行向量的话。却不满足矩阵乘法。也就是说如果用这个式子做计算的

话，需要将L改写成列的形式，以满足矩阵乘法的要求。)

根据这个式子有T’的一行乘L等于L乘T的一列.也就是说将T的每一行写成一个列这样得到的新矩阵就是T‘

总结出来也就是：

5 矩阵转置的性质（S,T,R为矩阵）

(i)(ST)'=T'S'

证明：假设矩阵对应以下映射：

T：X->U S:U->V, L:V->K(k是实数域这样L实际是V对偶空间中的元素)。令m：X->K于是有：

m = LST = L(ST) = (ST)' L 又：

m = LST = (LS)T = T'(LS) = T'(S'L)=T'S'L

综上(ST)'=T'S'

(ii)(T+R)'=T'+R'(易证)

(iii)(T^-1)'=(T')^-1

证明：令

T：X->U, L:U->K(k是实数域这样L实际是U对偶空间中的元素)。令m：X->K于是有：



(iv)T''=T(易证)