线性代数导论7——求解Ax=0：主变量、特解

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html
第七课时：求解Ax=0：主变量、特解

本课时将讲解如何计算那些向量空间中的向量，从概念定义转向算法，求解Ax=0的算法是怎样的，即零空间。

消元法解Ax=0
消元过程中，从一个方程中减去另一个方程的倍数，解是不会改变的，因此零空间是不会改变的，右侧向量始终是0，省去不写。实际上，这里改变的是列空间。
所以，注意消元过程中不变的是什么，随消元不变的是方程组的解。
行向量或者列向量之间的相关性可以在消元过程中表现出来。A中第一列和第二列共线，A的第三行是第一行和第二行的线性组合。
看例子：



A矩阵第一阶段的消元是把主元1那一列下面的元素变为0，第二阶段的消元是把主元2那一列下面的元素变为0，最终得到阶梯型echelon的矩阵U。图中圈出来的为主元，个数为2，这里引出一个重要概念：
矩阵的秩Rank(A)：矩阵主元的个数。
如此，我们在解Ax=0，现在变为了Ux=0，但解和零空间不变，现在进行回代
找出“主变量”pivot variables，主列，即主元所在的列，其他列，称为自由列。（自由列表示可以自由或任意分配数值，列2和列4的数值是任意的，因此x2和x4是任意的，可以自由取）。当我们把x2和x4分别取1和0时，可得到解x=c(-2 1 0 0)，c是常数，表示第二列减去2倍第一列为0。此时解是四维空间中穿过原点的一条直线。
因此，解Ax=0的新算法：
1）A矩阵消元，确定主元，解中主变量，也就确定主列，其余为自由列，自由变量；
2）然后对自由变量分配数值。 一般的，可以令其中一变量为1，其他均为0，求出一个解，再令另一个变量为1，其他为0，完成另一个解。。。求出的这些解向量完全不同，每一个解都是零空间的一部分，整个解就构成了完整的零空间了。

特解：零空间内特定的解，给定自由变量特定的值（1或者0）求出的解。
通过特解能构造出整个零空间，有了特解，就能有常数倍特解，他们之间的和线性组合构成了整个零空间。（和表示任意线性组合，任意线性组合仍然在零空间内）。



如上，两个特解的线性组合，零空间所包含的正好是特解的线性组合，特解有多少个，每个自由变量对应一个特解。

算法整理：消元后矩阵U的秩Rank(A)=r，表示主变量的个数，主元的个数，表示只有r个方程起作用，那么自由变量的个数即n-r个（对于矩阵m×n，n列对应n个未知数），令自由变量取1,0值就能得到特解，所有的特解构成了零空间的基，特解的线性组合即构成了整个零空间。

简化行阶梯形式
R=简化行阶梯形式reduced row echelon form（rref）：主元上下都是0，主元变为1
全为0的行三是如何得来的，因为这一行是其他行的线性组合，消元会把它剃除。
继续消元，我们可以把主元上方位置变为0



它以最简的形式包含了所有信息：
1）主行（行一，行二）；
2）主列（列一，列三），自由列，主元；
3）一个单位阵，主元上下均为0，而且主元为1，单位阵位于主列和主行的交汇处。以上是一个2×2的单位阵；
4）一个全为0的行，全为0的行总表示，该行的原行是其他行的线性组合；
5）从Ax=0变为Ux=0再变为Rx=0的解，解更明了

将以上矩阵R中的主元列和自由列分别放在一起形成单位矩阵I和自由列矩阵F，对于特解结果，自由列中数字的相反数即特解中的主元值，如下图左边的解和右边的I与F。



为什么呢？以下给出证明，假设R中主列在前I（r×r单位阵），自由列在后F（n-r×n-r），这是典型的简化行阶梯形式。那么什么x满足Rx=0，将构造一个“零空间矩阵”,记为N，它的各列由特解组成，RN=0，很容易得出N。



matlab中可以由null(A)得到零空间矩阵N。

以下以上面例子的转置作为例子求解零空间并简化行阶梯形式 ：
由于A的第三列是第一列和第二列的线性组合，所以不指望第三列成为主列，它是自由列。同时消元还会整理好各行，找出哪些行相关，哪些行无关



可以看到经过消元后，下面有两行都是0行，说明A的行向量中只有两行是线性无关的，即a1（1 2 3）和a2（2 6 8），其余的两个，（2 4 6）可通过2×a1+0*a2得到，（2 8 10）可通过-2×a1+2×a2得到





矩阵主列个数与其转置的主列个数相等。