51nod：1079 中国剩余定理（数学）

1079 中国剩余定理


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一个正整数K，给出K Mod 一些质数的结果，求符合条件的最小的K。例如，K % 2 = 1, K % 3 = 2, K % 5 = 3。符合条件的最小的K = 23。

Input

第1行：1个数N表示后面输入的质数及模的数量。（2 <= N <= 10)
第2 - N + 1行，每行2个数P和M，中间用空格分隔，P是质数，M是K % P的结果。（2 <= P <= 100, 0 <= K < P)

Output

输出符合条件的最小的K。数据中所有K均小于10^9。

Input示例

3
2 1
3 2
5 3

Output示例

23

中国剩余定理：

在这之前，先记住这俩定理，在看下面文字时，有不懂的就想想这俩定理：

定理1：几个数相加，如果只有一个加数，不能被数a整除，而其他加数均能被数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。

定理2：二数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而除数不变，则其余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。

我国的数学文化历史悠久。我们的祖先从上古末

开化时代开始，经过许多世代，通过大量的生产实践

和生活实际的研究，创造了许多宝贵的数量文献。

《孙子算经》

（大约公元四世纪、晋朝时期成书）中的“物不知其数”问题的解法是中国数学领先于世界的一个典型例子。它便是最早的

“中国剩余定理”。1．《孙子算经》，最早的“中国剩余定理”

“物不知其数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三。书中问题的奇妙解法是：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之得二百三十三，以二百一十减之即得二十三。

该算法用口诀表达是：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”意思是：每3个一数最后剩1个就取5和7的公倍数70（先让他剩1，再用定理2），那么“三三数之剩二个”，就取二倍个70得140（定理2）；每5个一数最后剩1个就取3和7的公倍数21，那么“五五数之剩三个”

，就取三倍个21得63；每7个一数最后剩1个就取3和5的公倍数15，那么“七七数之剩二个”，就取二倍个15得30。最后把140，63，30三数相加的和再减去3、5、7的公倍数105×2，即得符合条件的最小数为23。于是就有：70×2＋21×3＋15×2－105×2＝23。


（注意看这里，ai就是每个余数了，ti先不管，Mi是除了当下的除数之外的所有除数之积。ai不用求，Mi好求，这里ti怎么求呢？ti的意义就是设ax+by=1之中的x，而a是上面的Mi，b是当前除数，那么by就相当于b个b个数的话，数y组的意思，a就是除了当下的除数之外的所有除数之积，由于ai都是质数，所以a是其余除数的最小公倍数，那么求出x就是上面绿字过程。怎么求x也就是ti呢？用exgcd解就行）

代码如下：

#include <cstdio>
typedef long long LL;
LL n,chu[11],yu[11];
LL x,y;
void exgcd(LL a,LL b)//exgcd求不定方程ax+by=gcd(a,b)=1(a，b互质)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return ;
}
exgcd(b,a%b);
LL tmp=x;
x=y;
y=tmp-(a/b)*y;
}
LL chinese()
{
LL allji=1;
for(int i=0;i<n;i++)//先求出所有的除数之积，以便于球下面的mi
{
allji=allji*chu[i];
}
LL ans=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
LL mi=allji/chu[i];
exgcd(mi,chu[i]);//求x ，也就是ti
ans=(ans+(yu[i]*x*mi)%allji)%allji;
}
if(ans<0)//防止结果是负数
{
ans=ans+allji;
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%lld",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%lld%lld",&chu[i],&yu[i]);
}
printf("%lld\n",chinese());
return 0;
}

还有一种写法，也值得学习下（适合小数据）：

例7：一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生? 
题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加7，直到所得的数除5余3。得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2” 
4+7=11 
11+7=18 
18+35=53

摘自：http://blog.csdn.net/qq_32734731/article/details/51890220

#include <cstdio>
typedef long long LL;
LL n,chu[11],yu[11];
int main()
{
scanf("%lld",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%lld%lld",&chu[i],&yu[i]);
}
LL ans=yu[0];
LL lcm=1;
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
lcm=lcm*chu[i];
while(ans%chu[i+1]!=yu[i+1])
{
ans=ans+lcm;
}
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}