线性代数学习笔记（一）

课程一

线性方程组使用矩阵表示

[2−1−12][xy]=[03]

行图像

平面内两条直线相交。

列图像

列向量的线性组合（linear combination）。向量的加减法做图。

x[2−1]+y[−12]=[03]

如何判断 Ax=b 是否有解。

课程二

矩阵消元（elimination）与回代（back-substitution）

Ax=b

⎡⎣⎢⎢1302841112122⎤⎦⎥⎥→⎡⎣⎢⎢1002241−21262⎤⎦⎥⎥→⎡⎣⎢⎢1002201−2526−10⎤⎦⎥⎥

第二行减去第一行的3倍，第三行减去第二行的两倍。然后使用回代法解出x向量。

消元时遇到0

消元矩阵

EA=U

消元矩阵实际上是参数矩阵的行变换。

置换矩阵

矩阵的逆

课程三

矩阵乘法

对于C=AB，若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，

对于C中单个元素，有

cij=(row i of A)⋅(column j of B)=∑k=1nai,kbk,j

C中各列是A中各列的线性组合。

C中各行是A中各行的线性组合。

AB=∑(columns of A)⋅(rows of B)

将矩阵分块，法则仍然有效

[A1A3A2A4][B1B3B2B4]=[A1B1+A2B3A3B1+A4B3A1B2+A2B4A3B2+A4B4]

可逆矩阵，非奇异矩阵

Gauss-Jordan

AA−1=I

[1237][abcd]=[1001]

[12371001]→[10311−201]→[100−17−2−31]

E[AI]=[IA−1]

课程四

(AB)(B−1A−1)=I

(A−1)TAT=I

A=LU，L为下三角矩阵，对角线元素都为1，U为上三角矩阵。

消元的操作数O(n3)

行互换

置换矩阵的逆与转置相等

课程五

PA=LU

转置

(AT)ij=Aji

对称矩阵AT=A，RTR是对称矩阵

向量空间Rn

向量空间必须对数乘和加法两种运算封闭

子空间，向量空间中的向量空间

C(A)列空间，所有列向量的线性组合组成