线性代数学习笔记（三）

课程九

线性无关。

对于向量$x_1, x_2, …, x_n除了零组合以外没有线性组合可以得到零向量，则这些向量线性无关。

如果v1,v2,...,vn为矩阵A中的列向量，如果A的零空间仅为零向量，则这些向量线性无关。如果存在非零向量c使得Ac=0，则这些向量线性相关。

张成空间。向量v1,v2,...,vn张成空间，包含这些向量的所有线性组合。

基。向量空间的基是拥有两个特性的一系列向量v1,v2,...,vn

线性无关

张成空间

对于给定的向量空间，任意基的向量个数是确定的。也就是空间的维数。

向量空间Rn，如果n×n矩阵可逆，则矩阵的向量为一组基。

矩阵的秩是矩阵的列向量空间的维数。

自由变量的数量是矩阵的零空间的维数。

课程十

4个子空间

列向量空间C(A) in Rm。

零空间N(A) in Rn。

行向量空间C(AT) in Rn。

左零空间N(AT) in Rm。

空间的维数与基

C(A)的维数等于矩阵A的秩。

C(AT)的维数等于矩阵A的秩。

Ax=0的特殊解是N(A)的基。N(A)的维数为n−r

N(AT)的维数为m−r。

rref[Am×nIm×m]→[Rm×nEm×m]

通过Gauss-Jordan增广矩阵消元，我们可以得到什么样的变化使得行向量的线性组合为0，即左零空间的基。

新的向量空间。所有3×3矩阵组成向量空间M。

把矩阵看成向量。符合加法和数乘的规则。

M的子空间有：上三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵。对角矩阵空间的维数为3。将Rn扩展到了Rn×n。

课程十一

矩阵空间的基。

3×3矩阵的空间，维数为9。

3×3对称矩阵的空间，维数为6。

3×3上三角矩阵的空间，维数为6。

子空间的交集仍为子空间。维数的关系：

Dim(S)+Dim(U)=Dim(S∩U)+Dim(S+U)

没有向量的向量空间。考虑微分方程

d2ydx2+y=0

解有y=cosx,sinx，该空间的一组基为cosx,sinx，所有解为y=c1cosx+c2sinx。此处，函数不是向量，但符合规则。线性代数的思想要比矩阵表现形式更广。

秩为1的矩阵。

秩为a的矩阵与秩为b的矩阵相加，秩不一定为a+b。

设S为R4的所有满足v1+v2+v3+v4=0的v。

S是子空间。

S是矩阵A=[1111]的零空间，维数为n-r。

C(A)=R1N(AT)={0}

小世界图。

课程十二

图。节点与边。

关联矩阵。

每一行代表一条边。

用列编号表示节点。

-1表示边起点，1表示边的终点。

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢−10−1−101−10000110−100011⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

解Ax=0，设x=⎡⎣⎢⎢⎢x1x2x3x4⎤⎦⎥⎥⎥，则⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢x2−x1x3−x2x3−x1x4−x1x4−x3⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡<
d720
/span>⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢00000⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥，在电学中，即各点间的电势差。当我们将某个节点接地（确定其电势），我们可以求得其他节点的电势。这代表去除某一列后，其他三列的列向量线性无关。

ATy=0，KCL科尔霍夫电流定律。N(AT)的维数是m-r。

行空间。相关性源于回路。

树。没有回路的图。

维度公式。Dim N(AT)=m−r

欧拉公式可以从线性代数中推导出：#nodes−#edges+#loops=1，对任意图都成立。

ATCAx=f