【NOIP 2009 提高组 T3】最优贸易（spfa）

题目描述 Description

【问题描述】

C 国有n 个大城市和m 条道路，每条道路连接这n 个城市中的某两个城市。任意两个

城市之间最多只有一条道路直接相连。这m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分

为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为1 条。

C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价

格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息

之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设C 国n 个城

市的标号从1~ n，阿龙决定从1 号城市出发，并最终在n 号城市结束自己的旅行。在旅游的

过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有n 个城市。阿龙通过这样的贸易方

式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另

一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来C 国旅游，他决定

这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 C 国有5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路

为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为4，3，5，6，1。

阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在2 号城市以3 的价格买入水晶球，在3

号城市以5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为2。

阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第1 次到达5 号城市时以1 的价格

买入水晶球，在第2 次到达4 号城市时以6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为5。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号

以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入描述 Input Description

第一行包含 2 个正整数n 和m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的

数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这n 个城

市的商品价格。

接下来 m 行，每行有3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果z=1，

表示这条道路是城市x 到城市y 之间的单向道路；如果z=2，表示这条道路为城市x 和城市

y 之间的双向道路。

输出描述 Output Description

包含1 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，

则输出0。

样例输入 Sample Input

5 5

4 3 5 6 1

1 2 1

1 4 1

2 3 2

3 5 1

4 5 2

样例输出 Sample Output

5

数据范围及提示 Data Size & Hint

【数据范围】

输入数据保证 1 号城市可以到达n 号城市。

对于 10%的数据，1≤n≤6。

对于 30%的数据，1≤n≤100。

对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市

水晶球价格≤100。

题解：这道题的官方正解是先用Tarjan缩点后再DP，但是我不会啊╭(╯^╰)╮，所以我是用spfa做的这道题

这个题我们可以正反两边spfa，第一遍从编号1的点跑spfa，记录一下到其他点的路径上的最小值，然后反向建边从编号n的点再跑spfa，记录一下到其他点的路径上的最大值，最后把所有点for一遍取最大值与最小值的差，再取一下max就是答案。

第二遍spfa时反向建边可以判断跑到的点是否与终点连通，如果不与终点联通，那么就算它的价格特别高，能卖特别多的钱也没有用，两遍spfa后我们就知道了一条路径上的最大值和最小值，最后取差的max就是答案

代码如下：

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXV=110000;
const int MAXE=510000;
int first[MAXV],nxt[MAXE<<1],cost[MAXV];
int x[MAXE<<1],y[MAXE<<1],z[MAXE<<1];
int d1[MAXV],d2[MAXV];
int n,m,tot,ans=0;
bool used[MAXV];
struct edge
{
int from,to;
}es[MAXE<<1];
void init1()//第一遍spfa初始化
{
memset(first,-1,sizeof(first));
memset(d1,63,sizeof(d1));
tot=0;
}
void init2()//第二遍spfa初始化
{
memset(first,-1,sizeof(first));
memset(d2,-1,sizeof(d2));
memset(es,0,sizeof(es));
tot=0;
}
void build(int f,int t)
{
es[++tot]=(edge){f,t};
nxt[tot]=first[f];
first[f]=tot;
}
queue<int> Q;
void spfa1()
{
d1[1]=cost[1];//从1号点开始跑
Q.push(1);
used[1]=1;
while(!Q.empty())
{
int u=Q.front();
Q.pop();
used[u]=0;
for(int i=first[u];i!=-1;i=nxt[i])
{
int v=es[i].to;
if(d1[v]>min(d1[u],cost[v]))
{
d1[v]=min(d1[u],cost[v]);//这里记录的是这个点之前的价格最小值
if(!used[v])
{
Q.push(v);
used[v]=1;
}
}
}
}
}
void spfa2()
{
d2
=cost
;//从n号点开始跑
Q.push(n);
used
=1;
while(!Q.empty())
{
int u=Q.front();
Q.pop();
used[u]=0;
for(int i=first[u];i!=-1;i=nxt[i])
{
int v=es[i].to;
if(d2[v]<max(d2[u],cost[v]))
{
d2[v]=max(d2[u],cost[v]);//记录这个点之前的价格最大值
if(!used[v])
{
Q.push(v);
used[v]=1;
}
}
}
}
}
int main()
{
init1();
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&cost[i]);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&x[i],&y[i],&z[i]);
build(x[i],y[i]);//正向建边
if(z[i]==2) build(y[i],x[i]);
}
spfa1();
init2();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
build(y[i],x[i]);//反向建边
if(z[i]==2) build(x[i],y[i]);
}
spfa2();
for(int i=1;i<=n;i++)
ans=max(d2[i]-d1[i],ans);//取差的最大值
printf("%d",ans);
return 0;
}