线性代数学习笔记（九）

说在前面：这一章真的比较复杂，前前后后花了一天才理清楚，对应的视频是第23节，貌似网易公开课这集的评论普遍也是比较难。

微分方程

一阶微分方程

一句话总结：我已经给出公式u(t)=C1eλ1tx1+C2eλ2tx2u(t)=C1eλ1tx1+C2eλ2tx2 ，你们往里面带特征值λ和特征向量x就行了！

这章用线代方法找微分方程（组）du/dt=Audu/dt=Au 的“通解”。注意，通解≠所有解（具体百度之）：

u是标量时，du/dt=λudu/dt=λu的通解是 u=Ceλtu=Ceλt；u是向量时，每个分量 uiui 的通解 是n个不同的CieλitCieλit 的线性组合
当u二维时，向量 u 的通解：u(t)=C1eλ1tx1+C2eλ2tx2u(t)=C1eλ1tx1+C2eλ2tx2 （λ是A的特征值；x是λ对应的特征向量；C是任意常数，可由u的初值确定）
Strang没说怎么推理得到这个通解，只Check一下正确性：将解分别带入 du/dt=Audu/dt=Au的左右两侧，得到λx=Ax，完毕。我认为他是估计大家事先都知道解是什么（其实大家不一定见过微分方程），然后说这问题也能从线代来解决（之前他也用线代推出过一些图论和电路的公式）

这样，解微分方程=找A的特征值与特征向量。



Note我经常弄混的一个地方是u的分量的意义：

方程组中，du1 /dt = ...u1 + ... u2 + ...，这个是条件，用所有分量来对u1的变化趋势进行限制
解中，u1(t)=C1eλ1tx11+C2eλ2tx22=f(t)u1(t)=C1eλ1tx11+C2eλ2tx22=f(t)，注意变量只有t；x是常量，C虽可变，但只有固定C之后，u才有意义，所以也视C为常量

二阶微分方程

在微分方程教材中，解my''+by'+ky=0这样的二阶微分方程的步骤是：

设y=eλt，将其带入原式得到：(mλ2+bλ+k)eλt=0
这样只能是(mλ2+bλ+k)=0了，解方程得到λ1与λ2，对应y1=eλ1t和y2=eλ2t
通解y=C1*y1+C2*y2

现在用线代的视角解二阶微分，注意一阶和二阶微分的不同：

一阶微分如果只有一个式子，可直接得到解；如果有两个式子，则通过上述方法来解
（这里介绍的）二阶微分只有一个式子，技巧在于将y视为u1，y'视为u2，这样就将问题化为一阶微分方程了（时刻感到线代世界的奇妙）！解得的u包括u1（也就是y）与u2（也就是y'）的通解，一举两得

例如这样，注意，第一个式子是为了构造出矩阵A而生拼硬凑的（但是是正确的）。

n阶微分方程

解法是类似的，多少阶都看成u的一个分量就可以了。

稳定性

当t→∞时，如果u=0，则系统趋于stability。由微分方程的通解可以看出：

假如λ是实数，如果对所有λ，都有λ<0（注意不能等于0），那么u=0
假如λ是复数，对于e(r+is)t，只需要实数r<0，就有u=0；虚数模长为1，没有影响：eist=cos st + i sin st
对于二阶矩阵，只需要：迹（主对角线元素之和）<0 且 行列式>0，即可满足稳定性

当t→∞时，如果u=某个常数，则系统趋于steady state，需要的条件是：某几个特征值为0，其余所有特征值<0（我觉得stability和steady state意思差不多，可能是为了强调steady state是一个临界状态吧）

如果有一个特征值大于0，则系统blow up!

关于eAt

将微分方程的解化为eAt

假如A有n个相互独立的特征向量，我们可以设微分方程的解为u=Svu=Sv，S的列向量是A的特征向量，其本质是一堆数字常量；v是变量。

因为S是一堆数字，所以可以直接提出，这样方程du/dt=Audu/dt=Au变为：

S∗dv/dt=ASvS∗dv/dt=ASv

有：

dv/dt=S−1ASv=Λvdv/dt=S−1ASv=Λv

ΛΛ除了主对角线是特征值外，其余元素都是零。上式其实是将u的各个变量化成v，从而实现解耦合（像du1/dt的解和u1,u2...un都相关这样叫做耦合，现在dv1/dt只和v1相关，dv2/dt只和v2相关，这就没有耦合，从u到v的过程叫做“解耦合”）。解上式，得：

v(t)=eΛtv(0)v(t)=eΛtv(0) (只有Λ才能这么解，稍后解释)

通过v得到u：

u(t)=Sv(t)=SeΛtv(0)=SeΛtS−1u(0)=eAtu(0)u(t)=Sv(t)=SeΛtv(0)=SeΛtS−1u(0)=eAtu(0) （eAt与SeΛtS-1的关系稍后解释）

别急！什么是eAt

指数的幂是矩阵？！这需要用泰勒级数来解释，Strang提到有两个经典的泰勒展开公式（我们只需用到第一个）：

eAt=I+At+(At)2/2+(At)3/6+...+(At)n/(n!)+...=∑∞0(At)n/(n!)eAt=I+At+(At)2/2+(At)3/6+...+(At)n/(n!)+...=∑0∞(At)n/(n!)
(I−At)−1=I+At+(At)2+(At)3+...+(At)n+...=∑∞0(At)n(I−At)−1=I+At+(At)2+(At)3+...+(At)n+...=∑0∞(At)n

用泰勒级数来解释eAt

（解释1）

回头再看，eΛteΛt按照泰勒展开，得到I+Λt+(Λt)2/2+(Λt)3/6+...I+Λt+(Λt)2/2+(Λt)3/6+...，由于是对角矩阵，Λ平方相当于对角元素各自平方，这样可知展开后的矩阵的每个对角线元素，是λ_i的展开式。

说了这么多废话就是想说：eΛteΛt的对角线元素是eλiteλit

（解释2）

我们再将eAteAt展开，并用A=SΛS−1A=SΛS−1带入，就有：

有什么用？

u(t)=SeΛtS−1u(0)=eAtu(0)u(t)=SeΛtS−1u(0)=eAtu(0)

这个公式将向量形式的解与标量形式的解统一了，方便记忆。注意，u(t)=eAtu(0)u(t)=eAtu(0)是一定成立的，但是u(t)=SeΛtS−1u(0)u(t)=SeΛtS−1u(0)只有在A能对角化时才可以。

上式中，S是静止的，u(0)是给定的，所以变化的只有eΛt，微分方程的解是否稳定也在于eΛt的变化趋势。由于Λ是对角矩阵，eΛt的展开式也能很方便地看出（也是一个对角矩阵，对角线元素就是eλt），所以：

所有λ都小于0时，随着t增大，eΛt趋于0，u也趋于0
当有几个λ=0，其余都小于0时，随着t增大，eΛt只有一个元素等于1，其余都趋于0，u也趋于一个稳定的分布
只要有一个λ>0，u都会blow up!

（上面其实只是在新的视角上把前面的部分复述一遍。）