线性代数学习笔记（一）

矩阵乘向量 的 两种几何解释

row picture

以3X3矩阵为例，可理解为：矩阵A的每一行与向量相乘，分别得到一个平面（如：a11x1+a12x2+a13x3=b1a11x1+a12x2+a13x3=b1），方程的解是三个平面的交点。

Ax=⎡⎣⎢a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎤⎦⎥⎡⎣⎢x1x2x3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢a11x1+a12x2+a13x3a21x1+a22x2+a23x3a31x1+a32x2+a33x3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢b1b2b3⎤⎦⎥=bAx=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33][x1x2x3]=[a11x1+a12x2+a13x3a21x1+a22x2+a23x3a31x1+a32x2+a33x3]=[b1b2b3]=b

column picture

这种方法更好理解一些。将矩阵按列拆分，几何上，每一列就是一个向量，方程是矩阵每一列向量的线性组合。当向量之间不独立时（如第三个向量在前两个向量决定的平面上），方程得到的 b 无法填满所有的三维空间（而只能填满那个平面）。

Ax=⎡⎣⎢a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎤⎦⎥⎡⎣⎢x1x2x3⎤⎦⎥=x1⎡⎣⎢a11a21a31⎤⎦⎥+x2⎡⎣⎢a12a22a32⎤⎦⎥+x3⎡⎣⎢a13a23a33⎤⎦⎥Ax=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33][x1x2x3]=x1[a11a21a31]+x2[a12a22a32]+x3[a13a23a33]

“独立”

按照column picture来理解，将A分为 u, v, w 三个列向量：

如果 u, v, w 相互独立，矩阵A为 可逆矩阵， Ax=0 有唯一解。（看做三个向量组合，若独立，各个分量的解x只能为0）

如果 u, v, w 并不独立，矩阵A为 奇异矩阵， Ax=0 有无数解。（若三个向量组合之后回到原点，则同时放大固定倍数后仍回原点）

为什么叫做“奇异矩阵”（singular matrix）：
根据Quora的解释，“奇异”意味着“稀少”、“不寻常”，假如我们随机挑三个列向量u，v，w，那么他们非常可能是相互独立的（因为在一条线上的概率很小），所以不可逆矩阵的情况很稀少、不寻常，因此称之为奇异矩阵。

矩阵乘矩阵 的 四种解释

与矩阵乘向量相类似，分为行与列两种方式。以AxB=C为例：

C的每一行 都是 B的行的加权

将A和B都按照行来切分，C的第一行 看做 A的第一行各个分量*B相对应的行向量 的和，即：

[c11c12c13]=a11∗[b11b12b13]+a12∗[b21b22b23]+a13∗[b31b32b33][c11c12c13]=a11∗[b11b12b13]+a12∗[b21b22b23]+a13∗[b31b32b33]

按照Strang的解释：Each row of A acts on B to give a row of C.

C的每一列 都是 A的列的加权

将A和B都按照列来切分：

⎡⎣⎢c11c21c31⎤⎦⎥=⎡⎣⎢a11a21a31⎤⎦⎥∗b11+⎡⎣⎢a12a22a32⎤⎦⎥∗b12+⎡⎣⎢a13a23a33⎤⎦⎥∗b13[c11c21c31]=[a11a21a31]∗b11+[a12a22a32]∗b12+[a13a23a33]∗b13

A acts on each column of B to give a column of C.

C的每个单元cij 是 A的第i行 乘上 B的第j列

按行理解和按列理解均可，例如按行理解，取的是B的行中某个分量的加权。

分块相乘

将A按照列拆分成块，B按照行拆分成块，C看做A与B的分块乘积之和。

⎡⎣⎢|a1|...|an|⎤⎦⎥⎡⎣⎢−−b1...bn−−⎤⎦⎥=⎡⎣⎢a1b1+...+anbn⎤⎦⎥[||a1...an||][−b1−...−bn−]=[a1b1+...+anbn]