整数划分问题

整数划分问题

题目描述
将正整数n表示为一系列正整数之和，

n=n1+n2+n3+n4+......+nk
（其中，n1>=n2>=n3>=n4........>=nk>0,k>=1）

正整数n的这种表示成为正整数n的划分。正整数n的不同划分个数成为正整数n的划分数，记作p（n）。

例如，正整数6有如下11种划分:

6;

5+1;

4+2,4+1+1;

3+3,3+2+1,3+1+1+1;

2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;

1+1+1+1+1+1;
这是一道比较绕的递归问题，绕就绕在数学上，有点不好理解。
引入变量m表示最大加数，由上图分析可得
q( n, n ) = 1, 当 n ==1;

q( n, n ) = 1, 当m == 1;

q( n, n ) = q( n,n ) , 当n < m;

q( n, n ) = q( n, m-1) +1 , 当n == m;

q( n, n ) = q( n - m, m ) + q( n , m -1) , 当n > m;
也就是说，当m=n时，递归1+q( n, m-1) 比如m=n=6最大加数为6，则递归1+q（6，5），1既是6这种情况然后加上最大加数为5的所有情况，而最大加数为5仍需递归。
这时候n=6，m=5 又分为两种，q（6，4）即最大加数为4的所有情况和q（1，5）
如此再对q（6，4）递归
而当m或n等于1时只有1种情况也就是达到边界
递归结束后既出答案

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int q(int n,int m)
{
if(n==1||m==1){
return 1;
}else if(n>m){
return q(n-m,m)+q(n,m-1);
}else if(n<m){
return q(n,n);
}else{
return 1+q(n,n-1);
}
}
int main()
{
double start,stop,dur;
start=clock();
int a=6;
cout<<q(6,6);

stop=clock();
dur=stop-start;
cout<<"\n用时："<<dur<<"毫秒\n";
return 0;

}

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